Зад. от ТУ-2025

[Гост]

Можели някой да помогне за решаването на задача от предварителния изпит в ТУ тази година. Условието е:
Всички ръбове на триъгълна пирамида ABCS са равни на a. Точките D и E лежат съответно на ръбовете SA и AB, като SD : DA = SE : EB = 1 : 2. През точките D и E е построена равнина, успоредна на ръба SC. Да се намери лицето на сечението на равнината с пирамидата.

[Гост]

Можели някой да помогне за решаването на задача от предварителния изпит в ТУ тази година. Условието е:
Всички ръбове на триъгълна пирамида ABCS са равни на a. Точките D и E лежат съответно на ръбовете SA и AB, като SD : DA = SE : EB = 1 : 2. През точките D и E е построена равнина, успоредна на ръба SC. Да се намери лицето на сечението на равнината с пирамидата.

Мисля,че т.E не може да лежи на AB.Може би на SB?

[Гост]

Да, (аз не съм авторът на задачата, но проверих условието и пише SB) полученото сечение май е правоъгълник. Има две по две равни срещуположни страни, откъдето е успоредник. Но как се доказва, че е правоъгълник? Трябва някак си да се докаже, че ъглите в полученото сечение са прави

[KOPMOPAH]

Проекцията на ръба $SC$ в равнината на основата е перпендикулярна на $AB$ - виж теоремата за трите перпендикуляра.
Сечението е правоъгълник със страни $\frac 13a$ и $\frac 23a$ (защо?)

Скрит текст: покажи

... От съответните подобни триъгълници.

[S.B.]

Да, (аз не съм авторът на задачата, но проверих условието и пише SB) полученото сечение май е правоъгълник. Има две по две равни срещуположни страни, откъдето е успоредник. Но как се доказва, че е правоъгълник? Трябва някак си да се докаже, че ъглите в полученото сечение са прави

Да получава се правоъгълник.SC и AB,са кръстосани и сключват прав ъгъл.
Доказва се като построите височините в [tex]\triangle A BS[/tex] и [tex]\triangle ABC[/tex] към AB и построите равнина по тях.AB е перпендикулярна на тази равнина и следователно е перпендикулярна и на CS
Съжалявам,но. пиша от телефона.Ако не е ясно утре ще опиша подробно и ще приложа чертеж.

[Гост]

Да, (аз не съм авторът на задачата, но проверих условието и пише SB) полученото сечение май е правоъгълник. Има две по две равни срещуположни страни, откъдето е успоредник. Но как се доказва, че е правоъгълник? Трябва някак си да се докаже, че ъглите в полученото сечение са прави

Да получава се правоъгълник.SC и AB,са кръстосани и сключват прав ъгъл.
Доказва се като построите височините в [tex]\triangle A BS[/tex] и [tex]\triangle ABC[/tex] към AB и построите равнина по тях.AB е перпендикулярна на тази равнина и следователно е перпендикулярна и на CS
Съжалявам,но. пиша от телефона.Ако не е ясно утре ще опиша подробно и ще приложа чертеж.

Ще съм благодарен, ако може малко по-подробно тази част и как тук се прилага теоремата за трите перпендикуляра?

[S.B.]

Ще съм благодарен, ако може малко по-подробно тази част и как тук се прилага теоремата за трите перпендикуляра?

Без заглавие - 2025-04-04T174501.440.png (307.58 KiB) Прегледано 598 пъти

Построявате:[tex]\begin{cases} CK \bot AB\\ SK \bot AB\end{cases}[/tex]
$CK$ и $CS$ определят равнината $(CKS)$
Правата [tex]AB \begin{cases} \bot CK \\ \bot SK\end{cases} \Rightarrow AB \bot (CSK) \Rightarrow AB \bot[/tex] на всяка права от $(CSK)$[tex]\Rightarrow AB \bot SC[/tex]

За получения успоредник :

[tex]DE || AB, E E_{1 } || CS , AB \bot CS \Rightarrow DE \bot E E_{1 }[/tex]

Теорема за трите перпендикуляра,която Ви препоръча колегата KOPMOPAH:
$CK$ е проекция на $CS$ в равнината на [tex]\triangle ABC, CK \bot AB \Rightarrow CS \bot AB[/tex]

[Гост]

Ще съм благодарен, ако може малко по-подробно тази част и как тук се прилага теоремата за трите перпендикуляра?

Без заглавие - 2025-04-04T174501.440.png

Построявате:[tex]\begin{cases} CK \bot AB\\ SK \bot AB\end{cases}[/tex]
$CK$ и $CS$ определят равнината $(CKS)$
Правата [tex]AB \begin{cases} \bot CK \\ \bot SK\end{cases} \Rightarrow AB \bot (CSK) \Rightarrow AB \bot[/tex] на всяка права от $(CSK)$[tex]\Rightarrow AB \bot SC[/tex]

За получения успоредник :

[tex]DE || AB, E E_{1 } || CS , AB \bot CS \Rightarrow DE \bot E E_{1 }[/tex]

Теорема за трите перпендикуляра,която Ви препоръча колегата KOPMOPAH:
$CK$ е проекция на $CS$ в равнината на [tex]\triangle ABC, CK \bot AB \Rightarrow CS \bot AB[/tex]

Благодаря Ви!