Лице и обем на пирамида

[Гост]

Моля за помощ - кандидатстудентска задача
Основата на пирамида е ромб със страна а и остър ъгъл бетъ. Всички околни стени на пирамидата сключват с основата й ъгъл алфа. Да се намерят лицето на пълната повърхнина и обемът на пирамидата.

[S.B.]

Моля за помощ - кандидатстудентска задача
Основата на пирамида е ромб със страна а и остър ъгъл бетъ. Всички околни стени на пирамидата сключват с основата й ъгъл алфа. Да се намерят лицето на пълната повърхнина и обемът на пирамидата.

Без заглавие - 2025-04-06T144629.535.png (254.18 KiB) Прегледано 493 пъти

Щом околните стени сключват равни ъгли с основата на пирамидата,тогава върхът на пирамидата се проектира върху центъра на впъсаната в ромба окръжност.
[tex]\begin{cases} S_{ABCD }= a^{2 }\sin \beta \\ S_{ABCD } = p.r = 2ar\end{cases} \Rightarrow a^{2 }\sin \beta = 2ar[/tex]
$$\Rightarrow r = \frac{a}{2}\sin \beta $$

Разглеждам [tex]\triangle OTM :[/tex]
$MO = h$ е височината на пирамидата
[tex]AC \cap BD = O[/tex], т.$O$ е център на вписаната в ромба окръжност, т. $T$ е допирната ѝ точка с $BC$.
[tex]OT \bot BC , OT = r, ST= k[/tex] е апотемата на стената $(BCM)$
[tex]OT[/tex] е проекцията на $MT$ в равнината на ромба, [tex]OT \bot BC \Rightarrow MT \bot BC \Rightarrow \angle MTO = \alpha[/tex] (използвам теоремата за трите перпендикуляра)
[tex]\frac{OT}{MT} = \cos \alpha \Leftrightarrow \frac{r}{k}= \cos \alpha \Rightarrow k = \frac{r}{\cos \alpha }[/tex]
$$ \Rightarrow k = \frac{a\sin \beta }{2\cos \alpha }$$

[tex]\frac{OM}{OT} = \tg \alpha \Leftrightarrow \frac{h}{r} \tg \alpha \Leftrightarrow h = r\tg \alpha[/tex]
$$\Rightarrow h = \frac{a}{2}\sin \beta \tg \alpha $$

[tex]S_{пълна } = S_{ок. } + S_{ABCD } \Leftrightarrow S_{пълна } = \frac{4a.k}{2} + a^{2 }\sin \beta = 2a. \frac{a\sin \beta }{2\cos \alpha } + a^{2 }\sin \beta = a^{2 }\sin \beta( \frac{1}{\cos \alpha }+1) =[/tex]
[tex]= a^{2 }\sin \beta \frac{1 + \cos \alpha }{\cos \alpha }[/tex]
$$\Rightarrow S_{пълна } = \frac{ a^{2 }\sin \beta }{\cos \alpha }(1 + \cos \alpha ) = \frac{2 a^{2 }\sin \beta \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} }{\cos \alpha }$$

[tex]V_{MABCD } = \frac{1}{3}h. S_{ABCD } \Leftrightarrow V_{MABCD } = \frac{1}{3}. \frac{a}{2}\sin \beta \tg \alpha[/tex]
$$\Rightarrow V_{MABCD } = \frac{1}{6} a^{3 } \sin^{2 } \beta\tg \alpha$$