ТУ задача

[antoniy]

Screenshot_39.jpg (32.95 KiB) Прегледано 426 пъти

Успях да стигна до а = [tex]\pm \frac{1}{2}[/tex], но в отговорите пише,че и 0 е отговор. Може ли някой да ми обясни как се стига до този отговор?

[ammornil]

Screenshot_39.jpg

Успях да стигна до а = [tex]\pm \frac{1}{2}[/tex], но в отговорите пише,че и 0 е отговор. Може ли някой да ми обясни как се стига до този отговор?

$\\[6pt] \quad$ За да има системата единствено решение, или трябва да е линейна (да няма втори степени), или квадратния тричлен за променлива от втора степен да има единствено решение (дискриминанта нула). В случая не можем да елиминираме втората степен, защото коефициентът ѝ не зависи от $a$. Тогава искаме да елиминираме $y$ и да намерим такива стойности на $a$ за които квадратния тричлен за $x$ има единствено решение. За да елиминраме $y$ трябва да умножим второто уравнение с $a$ и да извадим първото от второто уравнение. Но за да е вярно преобразуванието с умножение на двете страни на уравнението с $a$, трябва $a\ne{0}$. Ако допуснем, че $a\ne{0}$ променяме условието на задачата, като изключваме самоволно стойности на $a$ (в случая $a=0$). Затова, трябва да разгледаме два случая $a=0$ и $a\ne{0}$.$\\[12pt] \begin{array}{|l} x +ay =2a \\ x^{2} +y =1 \end{array} \\[6pt] \boxed{\text{случай 1}: a=0 }\Rightarrow \begin{array}{|l} x =0 \\ x^{2} +y =1 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} x=0 \\ y =1 \end{array}\\[6pt]\quad$Получаваме единствено решение, следователно $a=0$ е едно решение на проблема. $\\[6pt] \boxed{\text{случай 2}: a\ne{0} }\Rightarrow \begin{array}{|l} x +ay =2a \\ x^{2} +y =1 \quad |\cdot{a\ne{0}} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x +ay =2a \\ ax^{2} +ay =a \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} ax^{2}-x=-a \\ x^{2} +y =1 \end{array} \\[6pt] \quad ax^{2}-x+a=0, \exists{x_{1}=x_{2}} \Rightarrow D=(-1)^{2}-4\cdot{a}\cdot{a}=0 \Rightarrow 4a^{2}=1 \Rightarrow a^{2}=\dfrac{1}{4} \Rightarrow a=\pm{\dfrac{1}{2}}\\[6pt]$Отговор: $a\in\left\{-\dfrac{1}{2}, 0, \dfrac{1}{2} \right\}$