СУ 25г. задача 1

[Гост]

Задача 1.
Страните на триъгълник ABC имат дължини AC = 7, BC = 5 и AB = 8. Построена е вътрешна ъглополовяща CL при върха C, като L \in AB. Окръжностите, вписани в триъгълник BLC и триъгълник ALC, се допират до отсечката CL съответно в точките S и Q.

Да се намери дължината на отсечката QS.

[KOPMOPAH]

СУ 2025 г. задача 1.png (9.96 KiB) Прегледано 508 пъти

От свойства на допирателните $$FL=FQ=x,~~GL=SL=y$$
От свойства нa ъглополовящата $$AL:LB=AC:BC\Rightarrow AL=\frac 7{12}\cdot 8=\frac {14}3,~~ BL=\frac 5{12}\cdot 8=\frac {10}3$$
$$AE=AF=\frac {14}3-x,~~BD=BG=\frac {10}3-y$$
$$CE=AC-AE=\cdots=\frac 73+x,~~CD=BC-BD=\cdots=\frac 53+y$$
Като вземем предвид, че от една страна$$QS=LS-LQ=y-x,$$а от друга $$QS=CQ-CS=CE-CD=\frac 73+x-\left(\frac 53+y\right)$$ получаваме $$y-x=\frac 73+x-\left(\frac 53+y\right),$$ откъдето $$2(y-x)=\frac23,~~y-x=QS=\boxed{\frac 13}$$.