СУ задача

[antoniy]

Screenshot_44.jpg (96.42 KiB) Прегледано 602 пъти

[Darina73]

План
1. Съставяме уравнението на правата АВ .
2. Съставяме ур-то на височината С[tex]Н_{1 } \bot АВ[/tex]
3. Съставяме ур-то на правата АС .
4. Съставяме ур-то на височината В[tex]Н_{2 } \bot АС[/tex]
5. Решаваме с-та [tex]\begin{array}{|l} уравнението/на/С Н_{1 } \\ уравнението/на/В Н_{2 } \end{array}[/tex]
защото т.Н лежи на С[tex]Н_{1 }[/tex] и на В[tex]Н_{2 }[/tex]
Намерените х,у ще са координатите на т.Н .

1. Ще пишем уравнение на права по следния начин y= nx +p (1)
(т.А лежи на АВ) -4=n(-7)+p
(т.В лежи на АВ) -2=n(-1)+p
Получаваме n=[tex]\frac{1}{3}[/tex] и p= -[tex]\frac{5}{3}[/tex] ,заместваме в (1) и получаваме ур-то на правата АВ
АВ : у= [tex]\frac{1}{3}[/tex]х-[tex]\frac{5}{3}[/tex]

2. Щом С[tex]Н_{1 } \bot[/tex]АВ ,то трябва техните " n " да са реципрочни и с обратни знаци .
При ур-то на С[tex]Н_{1 }[/tex] трябва n = -3 .
Тогава p =?
Търсеното ур-е на С[tex]Н_{1 }[/tex] -минава през т.С [tex]\Rightarrow[/tex]
4= -3( -8) + p ; p= -20
C[tex]H_{1 }[/tex] : y= -3x-20 (A)

По същия начин работим с точка 3 и 4 .
Получих ур-то на В[tex]Н_{2 }[/tex] : у= [tex]\frac{1}{8}х - \frac{15}{8}[/tex] (В)

5. Решаваме с-та от ур-та (А) и (В) ,получаваме х= - [tex]\frac{29}{5}[/tex] ,у= - [tex]\frac{13}{5}[/tex] Отг. Б)

[nikola.topalov]

…Ще пишем уравнение на права по следния начин y= nx +p …

Не е особено добра практика поради това, че по този начин изключваме всички прави, успоредни на ординатната ос, т.е. прави от вида [tex]x+k=0[/tex], [tex]k\in\mathbb{R}[/tex].

[ammornil]

Не е особено добра практика поради това, че по този начин изключваме всички прави, успоредни на ординатната ос, т.е. прави от вида [tex]x+k=0[/tex], [tex]k\in\mathbb{R}[/tex].

$\\[12pt]\quad$Нищо не изпускаме. Ако правата е успоредна на ординатата, тогава точките през които минава ще имат равни абсцисни координати и системата от уравнения с координатите на двете точки ще е несъвместима. Това е частен случай, който се получава от общото начало, с което работи колежката.

[peyo]

Screenshot_44.jpg

Да решим задачата със sympy!

In [24]: from sympy import *

In [25]: A,B,C=Point(-7,-4),Point(-1,-2),Point(-8,4)

In [26]: Line(A,B).perpendicular_line(C).intersect(Line(B,C).perpendicular_line(A))
Out[26]: {Point2D(-29/5, -13/5)}

[nikola.topalov]

Не е особено добра практика поради това, че по този начин изключваме всички прави, успоредни на ординатната ос, т.е. прави от вида [tex]x+k=0[/tex], [tex]k\in\mathbb{R}[/tex].

$\\[12pt]\quad$Нищо не изпускаме. Ако правата е успоредна на ординатата, тогава точките през които минава ще имат равни абсцисни координати и системата от уравнения с координатите на двете точки ще е несъвместима. Това е частен случай, който се получава от общото начало, с което работи колежката.

Още при предполагането, че правата е от вида [tex]y=nx+p[/tex] се изключват гореспоменатите прави. Защо да се случва това, като можем да използваме общото уравнение на една права: $$Ax+By+C=0$$

[Darina73]

В интернет написах : Определяне на уравнения на перпендикулярни прави .
Влязох в първото заглавие :
Khan Academy
Определяне на успоредни и перпендикулярни прави от уравнение

Гледах последния клип (под чертежа) ,който трае 3:34 минути .

Представих уравненията на правите , както Academy ги представи .

Урокът е за 12 клас ,може би поради това има разминаване .

[ammornil]

$\quad$Подходът за използване на уравнение на права с наклон и отрез е за предпочитане в случая, защото директно намира наклоните на правите, които са параметри на връзката за перпендикулярност. Всеки запис на уравнение на права е равнозначен на останалите и няма загуба на общност при познаване на дефинициите на различните записи. Задачата можеше да се реши и с уравнение на права през две точки: $$\dfrac{y-y_{A}}{y_{B}-y_{A}}= \dfrac{x-x_{A}}{x_{B}-x_{A}}$$ но, предложеното от колежката решение е най-практично.

[Гост]

Screenshot_44.jpg

Да решим задачата със sympy!

In [24]: from sympy import *

In [25]: A,B,C=Point(-7,-4),Point(-1,-2),Point(-8,4)

In [26]: Line(A,B).perpendicular_line(C).intersect(Line(B,C).perpendicular_line(A))
Out[26]: {Point2D(-29/5, -13/5)}

Туй много хубаво, само дето на изпита няма питони и се иска конвенционално решение.

[nikola.topalov]

$\quad$Подходът за използване на уравнение на права с наклон и отрез е за предпочитане в случая, защото директно намира наклоните на правите, които са параметри на връзката за перпендикулярност. Всеки запис на уравнение на права е равнозначен на останалите и няма загуба на общност при познаване на дефинициите на различните записи. Задачата можеше да се реши и с уравнение на права през две точки: $$\dfrac{y-y_{A}}{y_{B}-y_{A}}= \dfrac{x-x_{A}}{x_{B}-x_{A}}$$ но, предложеното от колежката решение е най-практично.

Нека спрямо ОКС в равнината е дадена точката [tex]M_0(x_0,y_0)[/tex] и правата $$g:A_g x+B_g y+C_g=0$$ Тогава веднага се установява, че права [tex]p[/tex], перпендикулярна на [tex]g[/tex] и инцидентна с точката [tex]M_0[/tex] има скаларни параметрични уравнения $$p:\begin{array}{|l} x=x_0+\lambda A_g \\ y=y_0+\lambda B_g \end{array},\ \lambda\in\mathbb{R}$$ (разбира се след съображението, че нормалният вектор [tex]\overrightarrow{n_g}[/tex] на правата [tex]g[/tex] е с координати [tex](A_g,B_g)[/tex] и той е колинеарен с [tex]p[/tex]). Както виждате, една сметка не е направена.

[ammornil]

Нека спрямо ОКС в равнината е дадена точката [tex]M_0(x_0,y_0)[/tex] и правата $$g:A_g x+B_g y+C_g=0$$ Тогава веднага се установява, че права [tex]p[/tex], перпендикулярна на [tex]g[/tex] и инцидентна с точката [tex]M_0[/tex] има скаларни параметрични уравнения $$p:\begin{array}{|l} x=x_0+\lambda A_g \\ y=y_0+\lambda B_g \end{array},\ \lambda\in\mathbb{R}$$ (разбира се след съображението, че нормалният вектор [tex]\overrightarrow{n_g}[/tex] на правата [tex]g[/tex] е с координати [tex](A_g,B_g)[/tex] и той е колинеарен с [tex]p[/tex]). Както виждате, една сметка не е направена.

$\\[12pt]\quad$Как определяте $\lambda$?

[Гост]

Някой може ли да предложи решение, което използва само изучаваното в часовете по общоовразователна подготовка, т.е. без уравнения на права и перпендикулярност на вектори.

[ammornil]

Някой може ли да предложи решение, което използва само изучаваното в часовете по общоовразователна подготовка, т.е. без уравнения на права и перпендикулярност на вектори.

$\\[12pt]$Опасявам се, че както е зададена, задачата не може да се реши без аналитична геометрия.

[grav]

Може да се избегне използването на уравнения на прави. Имаме, че [tex]BC[/tex] е перпендикулярна на [tex]AH[/tex], което е еквиавлентно на [tex]\vec{BC}\cdot\vec{AH}=0[/tex]. След като имаме възможните отговори директно се проверява, че само Б) работи. Дори не е нужно да се проверява за друга височнина и страна.