Вписана и описана пирамида

[Гост]

Дадена е триъгълна пирамида ABCD с дължини на ръбовете: АВ=2, CD=4, CA=CB=DA=DB=[tex]\sqrt{10}[/tex]
Да се намерят радиусите на вписаната в пирамидата и описаната около пирамидата сфери.

[ins-]

http://www.math.bas.bg/smb/2008_PK/2008/pdf/358-360.pdf задача 2 от тук може да е полезна за радиуса на описаната сфера. Радиусът на вписаната сфера може да се намери по формулата: [tex]r=3V/S[/tex], където [tex]V[/tex] е обемът на пирамидата, а [tex]S[/tex] - пълната ѝ повърхнина.

[S.B.]

Дадена е триъгълна пирамида ABCD с дължини на ръбовете: АВ=2, CD=4, CA=CB=DA=DB=[tex]\sqrt{10}[/tex]
Да се намерят радиусите на вписаната в пирамидата и описаната около пирамидата сфери.

Без заглавие - 2025-04-24T111803.535.png (401.79 KiB) Прегледано 363 пъти

1)Радиус на описаната сфера:

Сфера може да се опише около пирамида ако около всяка стена на пирамидата може да се опише окръжност.В случая е зададен тетраедер,така,че със сигурност можем да опишем сфера около $ABCD$
Центърът на описаната сфера ще лежи на пресечницата на симетралните равнини на ръбовете на пирамидата.
Нека [tex]O_{1 }[/tex] е център на описаната около [tex]\triangle ABD[/tex] окръжност, а [tex]О_{2 }[/tex] - на описаната около [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност.
Пресечницата на симетралните равнини на ръбовете $AB, AD,BD$ е правата [tex]S_{1 }[/tex], която минава през центъра [tex]O_{1 }[/tex] и е перпендикулярна на равнината на [tex]\triangle ABD[/tex]
Пресечницата на симетралните равнини на ръбовете $AB,BC,AC$ е правата [tex]S_{2 }[/tex] ,която минава през центъра [tex]O_{2 }[/tex] и е препендикулярна на равнината на [tex]\triangle ABC[/tex]
[tex]S_{1 } \cap S_{2 } = O[/tex]
т.[tex]O \in[/tex] на симетралната равнина на ръба $DC$ , защото окръжностите описани около [tex]\triangle ABC[/tex] и [tex]\triangle ABD[/tex] имат еднакви радиуси [tex]\Rightarrow[/tex] равнините на тези стени отсичат от сферата кръгове,които са на равни разстояния от центъра на сферата [tex]\Rightarrow О_{1 }О = О_{2 } О[/tex]
Разглеждам [tex]\triangle APD :[/tex]
Построявам [tex]DP \bot AB, P \in AB[/tex], нека [tex]\angle BAD = \alpha[/tex]
За [tex]\triangle APD[/tex] прилагам Питагорова теорема и получавам $PD = 3$ [tex]\Rightarrow PC = 3[/tex]
[tex]\sin \alpha = \frac{3}{ \sqrt{10} }[/tex]
За [tex]\triangle APD[/tex] прилагам Синусова теорема :
[tex]\frac{BD}{\sin \alpha } = 2r \Leftrightarrow \sqrt{10} = \frac{3}{ \sqrt{10} }. 2r \Rightarrow r = \frac{5}{3}[/tex]

[tex]\triangle PCQ \approx \triangle P O_{2 }O \Rightarrow \frac{O O_{2 } }{QC} = \frac{P O_{2 } }{PQ} \Rightarrow O O_{2 } = \frac{P O_{2 } .QC}{PQ}[/tex]
[tex]P O_{2 } = PC - r = 3 - \frac{5}{3} = \frac{4}{3}[/tex]
За [tex]\triangle PQC[/tex] прилагам Питагорова теорема и намирам [tex]PQ = \sqrt{5}[/tex]
$$\Rightarrow O O_{2 } = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{4}{3} .2}{ \sqrt{5} } = \displaystyle \frac{8}{3 \sqrt{5} } $$
За [tex]\triangle O O_{2 }C[/tex] прилагам Питагорова теорема и намирам $R$:
[tex]R^{2 } = \frac{64}{45} + \frac{25}{9} = \frac{189}{45} = \frac{21}{5}[/tex]
$$\Rightarrow R = \sqrt{ \frac{21}{5} } $$

2) Радиус на вписаната сфера:
Радиусът на вписаната сфера се намира с формулата:
$$r = \frac{3.V}{ S_{пълна } }$$

[tex]V_{ABCD } = \frac{ S_{ABC }.DH }{3}[/tex]

[tex]S_{ABC } = \frac{AB.PC}{2}= \frac{2.3}{2} \Rightarrow S_{ABC } = 3[/tex]
От [tex]\triangle PCD[/tex] ще определя височината на пирамидата [tex]DH \bot PC, H \in PC[/tex]
[tex]S_{PCD } = \frac{CD.PQ}{2} = \frac{4 \sqrt{5} }{2}[/tex]
[tex]\begin{cases} S_{PCQ } = \displaystyle \frac{4 \sqrt{5} }{2} \\ S_{PCQ } = \displaystyle\frac{PC.DH}{2} \end{cases} \Rightarrow \displaystyle\frac{3.DH}{2} = \frac{4 \sqrt{5} }{2} \Rightarrow DH = \displaystyle\frac{4 \sqrt{5} }{3}[/tex]
[tex]\Rightarrow V = \frac{1}{3} .3. \frac{4 \sqrt{5} }{3} \Leftrightarrow V = \frac{4 \sqrt{5} }{3}[/tex]

[tex]S_{пълна } = 2. S_{ABC } + 2. S_{BCD } = 6 + 2. S_{BCD }[/tex]
За [tex]\triangle BCD:[/tex]
(За да не претрупвам чертржа с височината към $DC$ не я чертая!)
По Питагорова теорема намирам [tex]BQ = \sqrt{6}[/tex] от правоъгълния [tex]\triangle BCQ \Rightarrow S_{BCD } = \frac{4. \sqrt{6} }{2} = 2 \sqrt{6}[/tex]

[tex]\Rightarrow S_{пълна } = 2.3 + 2.2 \sqrt{6} = 2(3 + 2 \sqrt{6})[/tex]

[tex]r = \displaystyle\frac{3V}{ S_{пълна } } = \displaystyle\frac{\displaystyle \frac{3.4 \sqrt{5} }{3} }{2.(3 + 2 \sqrt{6} )}[/tex]
$$\Rightarrow r = \frac{2 \sqrt{5} }{3 + 2 \sqrt{6} } $$

[Гост]

От къде се разбира,че [tex]OC =R[/tex]?

[S.B.]

От къде се разбира,че [tex]OC =R[/tex]?

Я помисли малко!Щом пирамидата е вписана в сферата къде лежат върховете ѝ?Явно върху повърхността на сферата.Там лежи и върхът $C$ и щом $O$ е центърът тогава естествено ,че $OC$ ще бъде радиусът.