Трапец

[Гост]

Даден е трапец ABCD (AB | CD) с основа АВ = 2R. Окръжност с диаметър АВ се допира до бедрото AD и основата DC и пресича бедрото ВС в точка Е.
а) Да се намери лицето на трапеца ABCD, ако BE:EC=3:2
б) Да се намери отношението BE:ЕС, при което радиусът на окръжността описана около триъгълник DEC е равна на R.

[Darina73]

a) [tex]S_{ABCD } = \frac{11 R^{2 } }{6}[/tex]

[Гост]

a) [tex]S_{ABCD } = \frac{11 R^{2 } }{6}[/tex]

А решението?

[Darina73]

В а) знаем R и нека BE=3b , CE=2b .
[tex]S_{ABCD }[/tex] = ?
AD е допирателна към окр.[tex]K_{1 } (O_{1 } ;R= \frac{AB}{2} )[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]O_{1 }A \bot AD[/tex] т.е. AB[tex]\bot[/tex]AD
Трапецът е правоъгълен ,коетo значи ,че също [tex]\angle[/tex]ADC=90[tex]^\circ[/tex] .
Нека окр.К се допира до CD в т.Р .
Четириъгълникът A[tex]O_{1 }[/tex]PD има три прави ъгъла [tex]\Rightarrow[/tex] четвъртият [tex]\angle[/tex]A[tex]O_{1 }[/tex]P=90[tex]^\circ[/tex]
A[tex]O_{1 }[/tex]PD е правоъгълник ,при който A[tex]O_{1 } = PO_{1 }[/tex] =R [tex]\Rightarrow[/tex] A[tex]O_{1 }[/tex]PD е квадрат (1)
Построяваме CH - височина в трапеца .

( CP е допирателна към К ) CE.CB= [tex]CP^{2 }[/tex] ;2b.5b=[tex]CP^{2 }[/tex] ;CP=b[tex]\sqrt{10}[/tex] (2)
[tex]\triangle[/tex]HBC -правоъгълен [tex]BH^{2 } +CH^{2 } =BC^{2 }[/tex] ;[tex](R-CP)^{2 } +AD^{2 } =25b^{2 }[/tex] (виж (1))
[tex]R^{2 } - 2R.CP+CP^{2 } +R^{2 } =25b^{2 }[/tex] и ползвайки (2) получаваме
15[tex]b^{2 }[/tex] +2([tex]\sqrt{10} R)[/tex]b -2[tex]R^{2 }[/tex] =0
D=10[tex]R^{2 }+30 R^{2 }=40 R^{2 }[/tex] ; [tex]b_{1,2 } = \frac{ - \sqrt{10}R \pm 2 \sqrt{10}R }{15} ; b_{2 }<0[/tex] отпада и остава b=[tex]\frac{\sqrt{10}R} {15}[/tex] (3)

За [tex]\triangle[/tex]HBC - правоъг. знаем CH=R и BC=5b= [tex]\frac{ \sqrt{10} R }{3}[/tex] и намираме BH= [tex]\frac{R}{3}[/tex] (4)
Тогава CD=AB-BH =2R-[tex]\frac{R}{3}[/tex] ; CD=[tex]\frac{5R}{3}[/tex] (5)

[tex]S_{ABCD } = \frac{(AB+CD)AD}{2}= \frac{(2R+ \frac{5R}{3} )R}{2} = \frac{11 R^{2 } }{6}[/tex]