ТУ задача

[antoniy]

Screenshot_49.jpg (27.77 KiB) Прегледано 338 пъти

[ammornil]

Ето дефинициите за различните изброени свойства:$\\[6pt]\quad$1. Четна функция:$\\[6pt]\hspace{4em}$ Функцията $f(x)$ се нарича четна, ако за всяко $x$ от дефиниционната ѝ област е изпълнено $f(-x) = f(x) $. Графиката на четна функция е симетрична относно оста $Oy$.$\\[6pt]\quad$2. Нечетна функция:$\\[6pt]\hspace{4em}$ Функцията $f(x)$ се нарича нечетна, ако за всяко $ x$ от дефиниционната ѝ област е изпълнено $f(-x) = -f(x)$. Графиката на нечетна функция е симетрична относно началото на координатната система.$\\[6pt]\quad$3. Периодична функция:$\\[6pt]\hspace{4em}$Функцията $f(x)$ се нарича периодична с период $T$, ако съществува такова $ T > 0$, че за всяко $ x$ от дефиниционната ѝ област е изпълнено $ f(x + T) = f(x) $. Най-малкото положително число $T$, за което това условие е изпълнено, се нарича основен период на функцията.$\\[6pt]\quad$4. Ограничена функция:$\\[6pt]\hspace{4em}$ Функцията $f(x)$ се нарича ограничена отгоре, ако съществува такова число $L$, че за всяко $x$ от дефиниционната ѝ област е изпълнено $f(x) \leq L$. Това означава, че стойностите на функцията не надхвърлят определена граница. Проверка, когато $x\in{R}$, се прави чрез търсене на такова число $L=\lim_{x\to{+\infty}}{f(x)} \ne{\pm{\infty}} \\[6pt]\hspace{4em}$ Функцията $f(x)$ се нарича ограничена отдолу, ако съществува такова число $L$, че за всяко $x$ от дефиниционната ѝ област е изпълнено $f(x) \geq L$. Това означава, че стойностите на функцията не стават по-малки от определена граница.Проверка, когато $x\in{R}$, се прави чрез търсене на такова число $ L=\lim_{x\to{-\infty}}{f(x)} \ne{\pm{\infty}} \\[6pt]\quad$5. Линейна функция:$\\[6pt]\hspace{4em}$Функцията $f(x)$ се нарича линейна, ако може да бъде представена във вида $f(x) = ax + b$, където $a$ и $b$ са константи, и $a \neq 0$. Графиката на линейна функция е права линия.$\\[24pt]\quad $С формата на дадената функция проверяваме всяко от условията.$\\[6pt]f(x)=\lg{(x^{4}-2x^{2}+1)}= \lg{(x^{2}-1)^{2}}\\ \quad \text{ДМ} \quad x^{2}-1\ne{0} \Rightarrow x\ne{\pm{1}} \\[6pt] \text{а)} \\ \begin{cases} f(x)=\lg{(x^{2}-1)^{2}} \\ f(-x)=\lg{((-x)^{2}-1)^{2}}= \lg{(x^{2}-1)^{2}} \end{cases} \Rightarrow f(x)=f(-x) \Rightarrow $ функцията е четна

[antoniy]

Ето дефинициите за различните изброени свойства:$\\[6pt]\quad$1. Четна функция:$\\[6pt]\hspace{4em}$ Функцията $f(x)$ се нарича четна, ако за всяко $x$ от дефиниционната ѝ област е изпълнено $f(-x) = f(x) $. Графиката на четна функция е симетрична относно оста $Oy$.$\\[6pt]\quad$2. Нечетна функция:$\\[6pt]\hspace{4em}$ Функцията $f(x)$ се нарича нечетна, ако за всяко $ x$ от дефиниционната ѝ област е изпълнено $f(-x) = -f(x)$. Графиката на нечетна функция е симетрична относно началото на координатната система.$\\[6pt]\quad$3. Периодична функция:$\\[6pt]\hspace{4em}$Функцията $f(x)$ се нарича периодична с период $T$, ако съществува такова $ T > 0$, че за всяко $ x$ от дефиниционната ѝ област е изпълнено $ f(x + T) = f(x) $. Най-малкото положително число $T$, за което това условие е изпълнено, се нарича основен период на функцията.$\\[6pt]\quad$4. Ограничена функция:$\\[6pt]\hspace{4em}$ Функцията $f(x)$ се нарича ограничена отгоре, ако съществува такова число $L$, че за всяко $x$ от дефиниционната ѝ област е изпълнено $f(x) \leq L$. Това означава, че стойностите на функцията не надхвърлят определена граница. Проверка, когато $x\in{R}$, се прави чрез търсене на такова число $L=\lim_{x\to{+\infty}}{f(x)} \ne{\pm{\infty}} \\[6pt]\hspace{4em}$ Функцията $f(x)$ се нарича ограничена отдолу, ако съществува такова число $L$, че за всяко $x$ от дефиниционната ѝ област е изпълнено $f(x) \geq L$. Това означава, че стойностите на функцията не стават по-малки от определена граница.Проверка, когато $x\in{R}$, се прави чрез търсене на такова число $ L=\lim_{x\to{-\infty}}{f(x)} \ne{\pm{\infty}} \\[6pt]\quad$5. Линейна функция:$\\[6pt]\hspace{4em}$Функцията $f(x)$ се нарича линейна, ако може да бъде представена във вида $f(x) = ax + b$, където $a$ и $b$ са константи, и $a \neq 0$. Графиката на линейна функция е права линия.$\\[24pt]\quad $С формата на дадената функция проверяваме всяко от условията.$\\[6pt]f(x)=\lg{(x^{4}-2x^{2}+1)}= \lg{(x^{2}-1)^{2}}\\ \quad \text{ДМ} \quad x^{2}-1\ne{0} \Rightarrow x\ne{\pm{1}} \\[6pt] \text{а)} \\ \begin{cases} f(x)=\lg{(x^{2}-1)^{2}} \\ f(-x)=\lg{((-x)^{2}-1)^{2}}= \lg{(x^{2}-1)^{2}} \end{cases} \Rightarrow f(x)=f(-x) \Rightarrow $ функцията е четна

Благодаря много, но не разбрах ограничената функция. Ще е ли възможно да ми покажете как ще проверим дали тази функция е ограничена?

[ammornil]

Дадената функция не е ограничена, защото $\\[6pt] L= \lim_{x\to{\pm{\infty}}}{\lg{(x^{2}-1)^{2}}}= \cdots =\lg{(\infty -1)}= \lg{\infty}= \infty\\[12pt]$В случая разглеждаме и двете безкрайности едновременно, защото знаем че фунцкията е четна, тоест $f(+\infty)= f(-\infty) \Rightarrow \lim_{x\to{\infty}}{f(\infty)}= \lim_{x\to{\infty}}{f(-\infty)}$