Радиус на вписана сфера

[S.B.]

За основа на пирамидата $MABC$ служи [tex]\triangle ABC[/tex] със страни $AB = 18,BC = 15$ и $AC= 12$.Стената минаваща през $AB$ е перпендикулярна на равнината на основата, а другите две стени сключват с равнината на основата ъгли равни на [tex]45 ^\circ[/tex].
Да се намери радиусът на вписаната в пирамидата сфера.

[ptj]

Нищо трудно, стига да имаш пространствено въображение. Минава се през обема и пълната повърхнина на тетраедъра.

П.П. Съществено е , че ако свържем петата на височината от D към основата с върха C се получава ъглополовяща на правия [tex]\angle ACB[/tex]. Т.е. за да решим задачата ни трябва само дължината на тази височина.

[Гост]

Нищо трудно, стига да имаш пространствено въображение. Минава се през обема и пълната повърхнина на тетраедъра.

П.П. Съществено е , че ако свържем петата на височината от D към основата с върха C се получава ъглополовяща на правия [tex]\angle ACB[/tex]. Т.е. за да решим задачата ни трябва само дължината на тази височина.

Какъв прав ъгъл виждаш в триъгълник със страни 12, 15 и 18?
Язък ти за пространственото въображение
Иначе си прав - обемът може да се намери от пълната повърхнина и търсения радиус.

[Гост]

П.П. Съществено е , че ако свържем петата на височината от D към основата с върха C се получава ъглополовяща на правия [tex]\angle ACB[/tex]. Т.е. за да решим задачата ни трябва само дължината на тази височина.

Ама къде е тази точка D?
Нещо не ми е ясно.Начертайте го,ако обичате.

[KOPMOPAH]

Радиус на вписана сфера.png (14.59 KiB) Прегледано 474 пъти

Така става ли по-ясно?

[Гост]

Радиус на вписана сфера.png

Така става ли по-ясно?

Да!!!Благодаря!

[ptj]

Не съм видял правилно една от цифрите, но това не променя нищо от идеята.

Лицето на основата може да се намери с Xеронова формула (или през косинусова теорема) . Сумата на лицата на останалите две неперпендикулярни стени е [tex]\frac{1}{cos(45 ^\circ)}[/tex] от лицето на основата. За лицето на последната стена се иска да намерите тангенса на ъгъла между ръба [tex]CM[/tex] и неговата ортогонална проекция в основата.

П.П, Не бях обърнал внимание на означенията...

[S.B.]

За основа на пирамидата $MABC$ служи [tex]\triangle ABC[/tex] със страни $AB = 18,BC = 15$ и $AC= 12$.Стената минаваща през $AB$ е перпендикулярна на равнината на основата, а другите две стени сключват с равнината на основата ъгли равни на [tex]45 ^\circ[/tex].
Да се намери радиусът на вписаната в пирамидата сфера.

Без заглавие - 2025-05-06T133006.686.png (309.59 KiB) Прегледано 399 пъти

Задачата е предназначена за колегите на които им предстои кандидат студентски изпит по математика.
Мисля,че е време да се премине от общите приказки на колегата ptj към решението на задачата.
Нищо лично колега,но за да намерите тангенса на ъгъла между $CM$ и ортогоналната проекция на $CM$ в основата,първо трябва да намерите ъгъла между $CM$ и ортогоналната проекция на $CM$,което въобще не обяснявате как ще стане...

Щом две от стените на пирамидата сключват равни ъгли с основата,тогава тяхният общ ръб се проектира върху ъглополовящата на ъгъла в основата ,от върха на който излиза този общ ръб.В случая $CM$ се проектира върху ъглополовящата на [tex]\angle ACB[/tex] и това е ъглополовящата $DC$
[tex]DP \bot AC,P \in AC , DQ \bot BC, Q \in BC , DP = DQ = x[/tex] защото $DC$ е ъглополовяща.
Според Хероновата формула:
[tex]S_{ABC } = \sqrt{ \frac{45}{2}. \frac{21}{2}. \frac{15}{2}. \frac{9}{2} } = \sqrt{ \frac{ 3^{6 }. 5^{2 }.7 }{ 4^{2 } } } = \frac{135 \sqrt{7} }{4}[/tex]
[tex]S_{ABC } = S_{ADC } + S_{BDC } \Leftrightarrow S_{ABC } = \frac{12.x}{2} + \frac{15.x}{2} \Leftrightarrow \frac{135 \sqrt{7} }{4} = \frac{27x}{2} \Rightarrow x = \frac{5 \sqrt{7} }{2}[/tex]
$$\Rightarrow DP = DQ = \frac{5 \sqrt{7} }{2} $$
[tex]\triangle MDP \cong \triangle MDQ[/tex] са равнобедрени правоъгълни [tex]\Rightarrow DM = DP = DQ[/tex]
$$\Rightarrow DM = \frac{5 \sqrt{7} }{2} $$
[tex]MP = MQ = \frac{5 \sqrt{7} }{2}. \sqrt{2}[/tex]
$$\Rightarrow MP = MQ = \frac{5 \sqrt{14} }{2} $$
$$r = \frac{3V}{ S_{1 } } $$
[tex]V = \frac{1}{3} S_{ABC } .DM \Leftrightarrow 3V = \frac{135 \sqrt{7} }{4}. \frac{5 \sqrt{7} }{2} = ...[/tex]
[tex]S_{1 } = S_{ABM } + S_{ACM } + S_{BCM } + S_{ABC }= \frac{AB.DM}{2} + \frac{AC.MP}{2}+ \frac{BC.MQ}{2} + S_{ABC } =[/tex]
[tex]= \frac{1}{2}.18. \frac{5 \sqrt{7} }{2} + \frac{1}{2}.12. \frac{5 \sqrt{14} }{2} + \frac{1}{2}.15. \frac{5 \sqrt{14} }{2} + \frac{135 \sqrt{7} }{4} =...[/tex]
От тук мисля,че нашите кандидат студенти ще се справят самостоятелно! Успех!