Стереометрия

[Гост]

Дадена е триъгълна пирамида MABC с основа правоъгълен [tex]\triangle[/tex]ABC ([tex]\angle[/tex]C=90⁰). Ако BC=a и [tex]\angle[/tex]ABC=[tex]\alpha[/tex] и околните ръбове са наклонени към равнината на Основата под ъгъл [tex]\beta[/tex], да се намери разстоянието между правите AB и CM.


Засега разсъжденията ми са следните:
Щом всички околни ръбове сключват равни ъгли с основата, то върхът на пирамидата се проектира в/у центъра на описаната окръжност, който за правоъгълен триъгълник е средата на хипотенузата. Ако това е т. О, MO [tex]\bot[/tex](ABC) и [tex]\angle[/tex]MAB = [tex]\angle[/tex]MBA=[tex]\angle[/tex] MCO=[tex]\beta[/tex].
Също така изразявам и страните на Основата, AC= atg([tex]\alpha[/tex]) , AO = OB= a/2cos[tex]\alpha[/tex]. От правоъгълника [tex]\triangle[/tex] MAO и [tex]\triangle[/tex] MOC имаме и MO = AOtg([tex]\beta[/tex]) = atg([tex]\beta[/tex])/2cos([tex]\alpha[/tex]).

Понеже [tex]\triangle[/tex]ABC не е равнобедрен, CO не е [tex]\bot[/tex] на AB, и CM и AB са кръстосани. Явно трябва да се построи равнина, успоредна на AB, съдържаща CM. Не знам коя е тя обаче.

[Гост]

Дадена е триъгълна пирамида MABC с основа правоъгълен [tex]\triangle[/tex]ABC ([tex]\angle[/tex]C=90⁰). Ако BC=a и [tex]\angle[/tex]ABC=[tex]\alpha[/tex] и околните ръбове са наклонени към равнината на Основата под ъгъл [tex]\beta[/tex], да се намери разстоянието между правите AB и CM.


Засега разсъжденията ми са следните:
Щом всички околни ръбове сключват равни ъгли с основата, то върхът на пирамидата се проектира в/у центъра на описаната окръжност, който за правоъгълен триъгълник е средата на хипотенузата. Ако това е т. О, MO [tex]\bot[/tex](ABC) и [tex]\angle[/tex]MAB = [tex]\angle[/tex]MBA=[tex]\angle[/tex] MCO=[tex]\beta[/tex].
Също така изразявам и страните на Основата, AC= atg([tex]\alpha[/tex]) , AO = OB= a/2cos[tex]\alpha[/tex]. От правоъгълните [tex]\triangle[/tex] MAO и [tex]\triangle[/tex] MOC имаме и MO = AOtg([tex]\beta[/tex]) = atg([tex]\beta[/tex])/2cos([tex]\alpha[/tex]).

Понеже [tex]\triangle[/tex]ABC не е равнобедрен, CO не е [tex]\bot[/tex] на AB, и CM и AB са кръстосани. Явно трябва да се построи равнина, успоредна на AB, съдържаща CM. Не знам коя е тя обаче.

[Гост]

Мисля, че имам идея как ще стане. Построяване през C права, успоредна на AB, след това от т. О права, перпендикулярна на първата построена, след това проектиране CM в равнината, определена от двете построени прави. Търсеното разстояние е височина в правоъгълния триъгълник с катети MO и втората построена права, и хипотенуза проекцията на CM. Това успях да измъдря в движение, моля, все пак, някой колега да потвърди.

[ptj]

Четете внимателно какво се търси.
За намирането дължината [tex]x[/tex] на ос-отсечката между [tex]AB[/tex] и [tex]CM[/tex] не е задължително тя да се построява.

По-рационално е да ползва формулата за обем на триъгълна пирамида (посредством дължината на два кръстосани ръба и ос отсечката между тях) :

[tex]V_{ABCD}= \frac{1}{6}AB.CM.x[/tex] ,

т.е. [tex]x=\frac{6.V_{ABCD}}{AB.CM}[/tex].

Всичко от дясната страна на последното равенство може да се намери...

П.П. Както вече сте забелязали върха се проектира в центъра на описаната окръжност за основата, която за правоъгълен триъгълник е точно средата на хипотенузата му...

[Гост]

Как се казва тази формула? Интересно ми е да я разгледам и да питам дали даскалката ни би ми позволила да я ползвам. Не я бях виждал досега

[ptj]

Формула за обем на триъгълна пирамида чрез дължината на два кръстосани ръба и ос-отсечката между тях.
Доказателството е елементарно. Довечера ще го напиша. Макар и да съм сигурен, че вече сме го дискутирали тук.

[ptj]

Всъщност формулата за обем на тетраедър (триъгълна пирамида) е малко по-различна:

[tex]V= \frac{1}{6} a.b.d. sin( \varphi)[/tex], където [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са два нейни кръстосани ръба, [tex]d[/tex] е ос-отсечката между тях, а [tex]\varphi[/tex] e ъгъла между тези два кръстосани ръба.

Цялата сага по доказателството може да намерите в следващия линк:

https://www.matematika.bg/f/viewtopic.php?f=55&t=33441