Ty задача

[antoniy]

IMG_5636.jpeg (63.37 KiB) Прегледано 763 пъти

[S.B.]

IMG_5636.jpeg

[tex]2 \sin^{2 }x - \sqrt{3}\sin 2x = 0 \Leftrightarrow 2 \sin^{2 }x - \sqrt{3}.2.\sin x.\cos x = 0[/tex]

[tex]2 \sin^{2 }x - \sqrt{3}.2\sin x\cos x = 0 |. \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \sin^{2 }x - \frac{ \sqrt{3} }{2}\sin x\cos x = 0[/tex]

[tex]\sin x( \frac{1}{2}\sin x - \frac{ \sqrt{3} }{2}\cos x) = 0 \Leftrightarrow \sin x(\sin x\cos \frac{ \pi }{3} - \cos x\sin \frac{ \pi }{3}) = 0[/tex]
$$\sin x. \sin (x - \frac{ \pi }{3}) = 0 $$
1)
[tex]\sin x = 0 \Rightarrow x = k\frac{ \pi }{2}[/tex]
[tex]x \in [ \frac{ \pi }{2} ; \frac{3 \pi }{2}][/tex]
$$\Rightarrow x_{1 } = \frac{ \pi }{2} , x_{2 } = \frac{3 \pi }{2}$$

2)
[tex]\sin(x - \frac{ \pi }{3}) = 0 \Rightarrow x - \frac{ \pi }{3} = k \frac{ \pi }{2}, k_{1 } = 1, k_{2 } = 3[/tex]

[tex]x_{3 } - \frac{ \pi }{3} = \frac{ \pi }{2} \Rightarrow x_{3 } = \frac{ \pi }{2} + \frac{ \pi }{3} = \frac{5 \pi }{6} \in [ \frac{ \pi }{2} ; \frac{3 \pi }{2}][/tex]

[tex]x_{4 } - \frac{ \pi }{3} = \frac{3 \pi }{2} \Rightarrow x_{4 } = \frac{3 \pi }{2} + \frac{ \pi }{3} = \frac{11 \pi }{6} \notin [ \frac{ \pi }{2}; \frac{3 \pi }{2}][/tex]

$$\Rightarrow x_{1 } = \frac{ \pi }{2} , x_{2 } = \frac{3 \pi }{2} , x_{3 } = \frac{5 \pi }{6} $$

[KOPMOPAH]

Първо се освободи от $\sin x=0$ и получи решението в зададения интервал.
След преработка изразът придобива вида:
$$\sin x - \sqrt 3\cos x=0$$
Като разделим двете страни на $2$, изразът става:
$$\frac 12\sin x-\frac{\sqrt 3} 2\cos x=0$$
Тук остава да се види, че едната дроб е, да кажем, $\sin \frac {\pi} 3$, а другата - съответно $\cos \frac {\pi} 3$ и да се приложи формулата за тригонометрична функция на сума/разлика на ъгли.

[KOPMOPAH]

Докато съм боцкал с пръстчето по екрана на телефона S. B. ме изпреварила

[proto210]

IMG_5636.jpeg

[tex]2 \sin^{2 }x - \sqrt{3}\sin 2x = 0 \Leftrightarrow 2 \sin^{2 }x - \sqrt{3}.2.\sin x.\cos x = 0[/tex]

[tex]2 \sin^{2 }x - \sqrt{3}.2\sin x\cos x = 0 |. \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \sin^{2 }x - \frac{ \sqrt{3} }{2}\sin x\cos x = 0[/tex]

[tex]\sin x( \frac{1}{2}\sin x - \frac{ \sqrt{3} }{2}\cos x) = 0 \Leftrightarrow \sin x(\sin x\cos \frac{ \pi }{3} - \cos x\sin \frac{ \pi }{3}) = 0[/tex]
$$\sin x. \sin (x - \frac{ \pi }{3}) = 0 $$
1)
[tex]\sin x = 0 \Rightarrow x = k\frac{ \pi }{2}[/tex]
[tex]x \in [ \frac{ \pi }{2} ; \frac{3 \pi }{2}][/tex]
$$\Rightarrow x_{1 } = \frac{ \pi }{2} , x_{2 } = \frac{3 \pi }{2}$$

2)
[tex]\sin(x - \frac{ \pi }{3}) = 0 \Rightarrow x - \frac{ \pi }{3} = k \frac{ \pi }{2}, k_{1 } = 1, k_{2 } = 3[/tex]

[tex]x_{3 } - \frac{ \pi }{3} = \frac{ \pi }{2} \Rightarrow x_{3 } = \frac{ \pi }{2} + \frac{ \pi }{3} = \frac{5 \pi }{6} \in [ \frac{ \pi }{2} ; \frac{3 \pi }{2}][/tex]

[tex]x_{4 } - \frac{ \pi }{3} = \frac{3 \pi }{2} \Rightarrow x_{4 } = \frac{3 \pi }{2} + \frac{ \pi }{3} = \frac{11 \pi }{6} \notin [ \frac{ \pi }{2}; \frac{3 \pi }{2}][/tex]

$$\Rightarrow x_{1 } = \frac{ \pi }{2} , x_{2 } = \frac{3 \pi }{2} , x_{3 } = \frac{5 \pi }{6} $$

[tex]\sin(x)=0[/tex] Само за [tex]x=k\pi[/tex].
От 1) имаме $$x = k\pi \Rightarrow x_1 = \pi$$
А от 2) $$\sin(x - \frac{\pi}{3}) = 0 \Rightarrow x - \frac{\pi}{3} = k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + k\pi,$$
тоест решения на задачата са

$$x_1 = \pi, \quad x_2 = \frac{4\pi}{3}$$

[S.B.]

Благодаря! Наистина ,допуснала съм груба грешка!Работила съм със [tex]\sin x[/tex] , а съм мислила за [tex]\cos x[/tex]!