Ту задача

[antoniy]

IMG_5660.jpeg (66.54 KiB) Прегледано 403 пъти

Стигнах дотам, че k[tex]\in[/tex]([tex]\frac{1- \sqrt{5} }{2}[/tex]; [tex]\frac{1+ \sqrt{5} }{2}[/tex]), но отговорът е (-1;1)

[S.B.]

IMG_5660.jpeg

Стигнах дотам, че k[tex]\in[/tex]([tex]\frac{1- \sqrt{5} }{2}[/tex]; [tex]\frac{1+ \sqrt{5} }{2}[/tex]), но отговорът е (-1;1)

$$x^{2 } - 2kx + k^{2 } - 1 = 0 $$

[tex]D = 4 k^{2 } - 4( k^{2 } - 1) = 4k^{2 } - 4 k^{2 } + 4 = 4>0[/tex]
[tex]x_{1,2 } = \frac{2k \pm 2}{2} \Rightarrow x_{1 } = k - 1, x_{2 } = k + 1[/tex]

$$- 2< x_{1 }< x_{2 } < 2 \Leftrightarrow -2 < k-1<k+1 < 2$$

[tex]\begin{array}{|l} k - 1 > -2 \\ k - 1 < 2 \end{array}[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]\begin{array}{|l} k + 1 > -2 \\ k + 1 < 2 \end{array}[/tex]

1)
[tex]\begin{array}{|l} k - 1 > -2 \\ k - 1 < 2 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} k > -1 \\ k < 3 \end{array}[/tex]

2)
[tex]\begin{array}{|l} k + 1>-2\\ k + 1 < 2 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} k> -3 \\ k < 1 \end{array}[/tex]
$$\Rightarrow -1 < k < 1 \Leftrightarrow k \in (-1;1)$$

[antoniy]

IMG_5660.jpeg

Стигнах дотам, че k[tex]\in[/tex]([tex]\frac{1- \sqrt{5} }{2}[/tex]; [tex]\frac{1+ \sqrt{5} }{2}[/tex]), но отговорът е (-1;1)

$$x^{2 } - 2kx + k^{2 } - 1 = 0 $$

[tex]D = 4 k^{2 } - 4( k^{2 } - 1) = 4k^{2 } - 4 k^{2 } + 4 = 4>0[/tex]
[tex]x_{1,2 } = \frac{2k \pm 2}{2} \Rightarrow x_{1 } = k - 1, x_{2 } = k + 1[/tex]

$$- 2< x_{1 }< x_{2 } < 2 \Leftrightarrow -2 < k-1<k+1 < 2$$

[tex]\begin{array}{|l} k - 1 > -2 \\ k - 1 < 2 \end{array}[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]\begin{array}{|l} k + 1 > -2 \\ k + 1 < 2 \end{array}[/tex]

1)
[tex]\begin{array}{|l} k - 1 > -2 \\ k - 1 < 2 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} k > -1 \\ k < 3 \end{array}[/tex]

2)
[tex]\begin{array}{|l} k + 1>-2\\ k + 1 < 2 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} k> -3 \\ k < 1 \end{array}[/tex]
$$\Rightarrow -1 < k < 1 \Leftrightarrow k \in (-1;1)$$

Видях, къде съм сгрешил. Благодаря за решението.

[ptj]

Тази задача е нетипично лесна, заради факта че дискриминантата е точен квадрат.

Обичайните задачи от подобен род се решават по малко по-различен начин.

Нека запишем самото уравнение във вида [tex]f(x)=ax^2+bx+c=0[/tex].

Наличието на неговите корени в интервала [tex](-2;2)[/tex] e равносилно на следните 3 условия:

1.) [tex]-2< \frac{-b}{2a}<2[/tex], т.е. върха на параболата е в интервала [tex](-2;2)[/tex]

2.) [tex]f(-2)>0[/tex] , сл. -2 не е в интервала [tex](x_1;x_2)[/tex]

3.) [tex]f(2)>0[/tex] , последно 2 също не е в интервала [tex](x_1,x_2)[/tex]

[ammornil]

Нека запишем самото уравнение във вида [tex]f(x)=ax^2+bx+c=0[/tex].

Наличието на неговите корени в интервала [tex](-2;2)[/tex] e равносилно на следните 3 условия:

1.) [tex]-2< \frac{-b}{2a}<2[/tex], т.е. върха на параболата е в интервала [tex](-2;2)[/tex]

2.) [tex]f(-2)>0[/tex] , сл. -2 не е в интервала [tex](x_1;x_2)[/tex]

3.) [tex]f(2)>0[/tex] , последно 2 също не е в интервала [tex](x_1,x_2)[/tex]

$\\[12pt]$Горното е вярно, според мен, само ако $a>0$. Общият вид на условието за това корените ("нулите") на квадратната функция $f(x)=a\cdot{x^{2}} +b\cdot{x} +c$ да лежат между две дадени константи $(t_{1}, t_{2})$ e $\\[12pt] \because{} t_{1} <x_{1} \leq{x_{2}} <t_{2} \Rightarrow \begin{array}{|l} b^{2}-4\cdot{a}\cdot{c} \geq 0 \\[6pt] a\cdot{f(t_{1})}>0 \\[6pt] a\cdot{f(t_{2})}> 0 \\[6pt] t_{1}< -\dfrac{b}{2\cdot{a}} < t_{2} \end{array} \\[12pt]$

[ptj]

Естествено знака на [tex]а[/tex] определя накъде сочи върха на параболата. В конкретния случай той е положителен, затовя може да го изключим от разглежданията.

[ammornil]

Естествено знака на [tex]а[/tex] определя накъде сочи върха на параболата. В конкретния случай той е положителен, затовя може да го изключим от разглежданията.

така си помислих, но вие давате параметричен запис ($ax^2$ вместо $x^2$) и реших да уточня.