Обем на пирамида

[Гост]

За основа на пирамидата MABC служи правоъгълен триъгълник с хипотенуза AB и катети AC = 21 см и BC = 28 см.Околните стени през катетите сключват с равнината на основата ъгли равни на [tex]60 ^\circ[/tex],AM = BM.Да се определи обема на пирамидата.

[S.B.]

За основа на пирамидата MABC служи правоъгълен триъгълник с хипотенуза AB и катети AC = 21 см и BC = 28 см.Околните стени през катетите сключват с равнината на основата ъгли равни на [tex]60 ^\circ[/tex],AM = BM.Да се определи обема на пирамидата.

Без заглавие - 2025-06-03T181601.815.png (463.87 KiB) Прегледано 244 пъти

Околните стени през катетите сключват равни ъгли с основата , $AM = BM$ [tex]\Rightarrow[/tex] върхът $M$ се проектира върху пресечната точка на ъглополовящата на [tex]\angle ACB[/tex] и симетралата на $AB$ т.$H$ ,която лежи върху окръжността описана около [tex]\triangle ABC[/tex]

Разглеждам основата на пирамидата:
[tex]\angle BAC = \alpha , \angle ABC = \beta ,\angle ABH = \angle BAH = \varphi[/tex]
[tex]\angle HAC = \angle HAB + \angle BAC = \varphi + \alpha[/tex]
[tex]\angle HBC = \angle HBA + \angle ABC = \varphi + \beta[/tex]
[tex]\alpha > \beta \Rightarrow \angle HAC > \angle HBC[/tex]

Около $HACB$ е описана окръжност :
[tex]\begin{cases} \angle HAC + \angle HBC = 180 ^\circ \\ \angle HAC > \angle HBC\end{cases} \Rightarrow \angle HAC >90 ^\circ, \angle HBC < 90 ^\circ[/tex]

[tex]\angle HAC > 90 ^\circ ,H M_{1 } \bot AC \Rightarrow[/tex] т.[tex]M_{1 }[/tex] е външна за отсечката $AC$
[tex]\angle HBC \angle 90 ^\circ ,H M_{2 } \bot BC \Rightarrow[/tex] т.[tex]M_{2 }[/tex] е вътрешна за отсечката $BC$
[tex]\triangle A M_{1 }H \cong \triangle B M_{2 }H[/tex] :
$AH = BH$ ( т.[tex]H \in S_{AB })[/tex] ,
[tex]M_{1 }H = M_{2 }H[/tex] (т.$H$ лежи на ъглополовящата на [tex]\angle ACB)[/tex]
Триъгълниците са правоъгълни [tex]\Rightarrow[/tex] са еднакви по четвърти признак (равни катет и хипотенуза)
[tex]\Rightarrow A M_{1 } = B M_{2 } = x[/tex]

Четириъгълникът [tex]M_{1 } H M_{2 }C[/tex] е квадрат ( 3 прави ъгъла и равни съседни страни - [tex]M_{1 }H = M_{2 }H[/tex]
[tex]\Rightarrow M_{1 }C = M_{2 }C \Leftrightarrow 21 + x = 28 - x \Leftrightarrow 2x = 7 \Rightarrow x = 3,5 cm[/tex]
[tex]\triangle C M_{1 }H[/tex] е равнобедрен, правоъгълен [tex]\Rightarrow M_{1 }H = C M_{1 } = 21 + 3,5 = 24,5 cm[/tex]

За пирамидата:
От [tex]\triangle M_{1 }HM, \frac{HM}{H M_{1 } } = \tg 60 ^\circ \Leftrightarrow HM = H M_{1 }\tg 60 ^\circ \Rightarrow HM = 24,5 \sqrt{3}[/tex]

[tex]V_{MABC } = \frac{1}{3}. \frac{21.28}{2}.24, 5\sqrt{3}[/tex]
$$\Rightarrow V = 2401 \sqrt{3} $$

[Гост]

Благодаря Ви!