Ту задача

[antoniy]

IMG_5670.jpeg (72.78 KiB) Прегледано 474 пъти

Стигнах само до прилагането на синусовата теорема, пробвах и с косинусовата теорема, но не успявам да я реша.

[Darina73]

С подобни триъгълници решението е кратко .

[tex]\triangle[/tex]ALC[tex]\approx \triangle[/tex]BAC
AC= 4 см.

[ptj]

По-скоро ми прилича на поредната кратка глупост.
Къде се намира точка L?

[antoniy]

С подобни триъгълници решението е кратко .

[tex]\triangle[/tex]ALC[tex]\approx \triangle[/tex]BAC
AC= 4 см.

т. L предполагам е от ъглополовящата CL?

[antoniy]

По-скоро ми прилича на поредната кратка глупост.
Къде се намира точка L?

Вместо да се подигравате, можехте да напишете някое решение

[ptj]

За съжаление не мога да напиша решение за лошо формулирана задача.

Подобни задачи с няколко дадени отговора предполагат бързо и лесно решение.

Единствения видим за мен вариант е да се тръгне с проверка за всеки отговор, дали условията на задачата са изпълнени.

П.П. Ако така се намери решението, може да се установи дали нещо липсва в условието.

[ptj]

c=5

От синусова теорема : [tex]\frac{a}{b}= \frac{sin( \alpha )}{sin(\beta)}= \frac{sin(\alpha)}{sin(2\alpha)}= \frac{sin(\alpha)}{2sin(\alpha)cos(\alpha)} =\frac{1}{2.cos( \alpha )}[/tex]

[tex]cos(\alpha)= \frac{b}{2a}[/tex]

-------------------------

г.) [tex]b=4, a=b+2=6[/tex]

[tex]a^2=c^2+b^2-2cb.cos(\alpha)[/tex]

[tex]36= 25+ 16-2.5.4.cos(\alpha) \Rightarrow cos(\alpha)= \frac{5}{40} \ne \frac{4}{2.6}[/tex] не е отговор

--------------------------

в.) [tex]b=3, a=b+2=5[/tex]

[tex]25=25+9-2.5.3.cos(\alpha) \Rightarrow cos( \alpha )= \frac{3}{10} = \frac{b}{2a}= \frac{3}{2.5}[/tex] верен отговор

Както и предполагах има пропуск в условието. Дадения триъгълник е равнобедрен (a=c).

П.П. Начина, по който е формулирана задачата, предполага еднозначен отговор, затова няма нужда да проверяваме останалите отговори.

[Darina73]

Нека AC=b ,BC=b+2 ,[tex]\angle[/tex]BAC=2[tex]\alpha[/tex] и [tex]\angle[/tex]ABC=[tex]\alpha[/tex] .
AC= b=?
Построяваме AL- ъглополовяща в [tex]\triangle[/tex]ABC ,като т. L[tex]\in[/tex]BC .

[tex]\frac{CL}{BL}= \frac{AC}{AB} ; \frac{CL}{BL}= \frac{b}{5}[/tex] , означаваме CL=bx ,BL=5x
BL+CL=BC ;5x+bx= b+2 ;x=[tex]\frac{b+2}{b+5}[/tex] (1)

Тогава CL=bx= [tex]\frac{b(b+2)}{b+5}[/tex] (2)

[tex]\triangle[/tex]ALC[tex]\approx \triangle[/tex]BAC (1 признак)
[tex]\frac{AC}{BC} =\frac{CL}{AC} ; \frac{b}{b+2} =\frac{ \frac{b(b+2)}{b+5} }{b}[/tex] ;[tex]b^{2 } +5b=b^{2 } +4b+4[/tex]

AC= b=4 см.

Скрит текст: покажи

Задачата може да се реши и чрез косинусовата теорема .

[ptj]

Дарина, бъди сигурна че имам достатъчно добра интуиция за да разбера дали някой е добър по математика или не.

Ти за съжаление не си от първите и ме караш да ти го повтярям вече втори път.

Решението ти е тотална глупост.

--------------------------------------------------------

Ъглополовяшата [tex]AL[/tex] дели [tex]\angle CAB[/tex] на два равни по [tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex].

Подобни триъгълници имат съответни равни ъгли.

Затова единствения вариант [tex]\angle CAL[/tex] да участвува в подобие са двата триъгълника [tex]\triangle CAL[/tex] и [tex]\triangle BAL[/tex].

Понеже за последните [tex]AL[/tex] е обща, то коефициента им на подобие може да е само 1:1 , т.е. те да са еднакви.

[Darina73]

Моля ,прочетете личното ми съобщение .

[ptj]

Съжалявам, ще трябва да си взема думите назад.

Решавал съм друга задача, т.е. [tex]\beta =2 \alpha[/tex].

[Гост]

Спокойно ,човешко е да се греши .

[ptj]

c=5

От синусова теорема : [tex]\frac{a}{b}= \frac{sin( \alpha )}{sin(\beta)}= \frac{sin(\alpha)}{sin(2\alpha)}= \frac{sin(\alpha)}{2sin(\alpha)cos(\alpha)} =\frac{1}{2.cos( \alpha )}[/tex]

[tex]cos(\alpha)= \frac{b}{2a}[/tex]

-------------------------

г.) [tex]b=4, a=b+2=6[/tex]

[tex]a^2=c^2+b^2-2cb.cos(\alpha)[/tex]

[tex]36= 25+ 16-2.5.4.cos(\alpha) \Rightarrow cos(\alpha)= \frac{5}{40} \ne \frac{4}{2.6}[/tex] не е отговор

--------------------------

в.) [tex]b=3, a=b+2=5[/tex]

[tex]25=25+9-2.5.3.cos(\alpha) \Rightarrow cos( \alpha )= \frac{3}{10} = \frac{b}{2a}= \frac{3}{2.5}[/tex] верен отговор

Както и предполагах има пропуск в условието. Дадения триъгълник е равнобедрен (a=c).

П.П. Начина, по който е формулирана задачата, предполага еднозначен отговор, затова няма нужда да проверяваме останалите отговори.

Ето как би изглеждало горното решение за оригиналната задача:

[tex]\alpha =2 \beta \Rightarrow cos( \beta )= \frac{a}{2b}[/tex].

[tex]b^2=c^2+a^2-2ac.cos( \beta )[/tex].

г.) [tex]b=4 \Rightarrow a=6[/tex]

[tex]16=25+36-2.5.6.cos( \beta ) \Rightarrow cos( \beta )= \frac{45}{60}= \frac{3}{4}= \frac{a}{2b}= \frac{6}{2.4}[/tex] , т.е. отговора е верен.

[Darina73]

[tex]\begin{array}{|l} sinT \\ cosT \end{array}[/tex] за [tex]\triangle[/tex]АВС

[tex]\begin{array}{|l} \frac{BC}{sin2 \alpha } = \frac{AC}{sin \alpha } \\ AC^{2 } = AB^{2 } +BC^{2 } -2AB.BC.cos \alpha \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} \frac{b+2}{2sin \alpha.cos \alpha } = \frac{b}{sin \alpha } \\ b^{2 } =25+(b+2)^{2 } -2.5(b+2)cos \alpha \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} cos \alpha = \frac{b+2}{2b} \\ cos \alpha = \frac{4b+29}{10(b+2)} \end{array}[/tex]

[tex]\frac{b+2}{2b}= \frac{4b+29}{10(b+2)}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] получаваме [tex]b^{2 }[/tex]-9b+20 =0 с корени 4 и 5

Допускаме ,че АС= b =5 см. е верен отговор . [tex]\triangle[/tex]ABC ще е равнобедрен и [tex]\angle[/tex]ACB=[tex]\angle[/tex]ABC=[tex]\alpha[/tex]
Тогава 2[tex]\alpha +\alpha+ \alpha =180 ^\circ[/tex] т.е. [tex]\alpha[/tex]=45[tex]^\circ[/tex] и [tex]\angle[/tex]BAC=2[tex]\alpha=90 ^\circ[/tex]
[tex]\triangle[/tex]ABC ще е правоъгълен ,за който трябва [tex]5^{2 } +5^{2 } =7^{2 }[/tex]
Противоречие [tex]\Rightarrow[/tex] отг. 5 см. отпада ,остава AC=b=4 см.