Ту задача

[antoniy]

IMG_5683.jpeg (96.83 KiB) Прегледано 487 пъти

[pal702004]

$1+\sin{2x}=(\sin x+\cos x)^2$

[antoniy]

$1+\sin{2x}=(\sin x+\cos x)^2$

Това вече го направих.

[KOPMOPAH]

А сети ли се да извадиш пред скоби този израз и какво можеш да кажеш за другия множител?

[antoniy]

IMG_5683.jpeg

Това също съм го направил, проблемът почва след това.

[ammornil]

В тази задача, понеже всички отговори са в дадения интервал, просто заместете с всеки от отговорите докато намерите кой отговор удовлетворява даденото равенство. В случая отговор (Б), защото $\sin\left(-\dfrac{\pi}{4} \right)= -\cos{\left(-\dfrac{\pi}{4} \right)}$ и $\sin\left[2\left(-\dfrac{\pi}{4} \right)\right]= -1$.

Когато се иска да се избере отговор от дадени опции без да се доказва вярност на твърдението, няма нужда да се правят много преобразувания или теоретични сметки. Просто заместете. Като почнете с (А) виждате че $0$ не е решение, което изключва веднага и (Г), и така остават по-малко опции за проверка...

п.с. $\sin{x} +\cos{x}=0$ се решава чрез полагане с тангенс на половинката $\tg{\dfrac{x}{2}}=t \Rightarrow \begin{cases} \sin{x}=\dfrac{2t}{1+t^{2}} \\[6pt] \cos{x}= \dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}} \end{cases}$

, но дали ще се сетите, че $1\pm\sqrt{2}$ са тангенсите на $-\dfrac{\pi}{8}$ и $\dfrac{3\pi}{8}$ не знам.

[KOPMOPAH]

Това също съм го направил, проблемът почва след това.

След преработка изразът придобива вида:$$(\sin +\cos x)(\sin x +\cos x+2)=0$$
Кой от двата израза може да е равен на $0$? Или казано другояче - има ли такива стойности на $x$, при които вторият израз да се нулира?
Прав е колегата ammornil, че без много умуване се замества в $\sin x +\cos x=0$ и се стига до истината.

[antoniy]

Това също съм го направил, проблемът почва след това.

След преработка изразът придобива вида:$$(\sin +\cos x)(\sin x +\cos x+2)=0$$
Кой от двата израза може да е равен на $0$? Или казано другояче - има ли такива стойности на $x$, при които вторият израз да се нулира?
Прав е колегата ammornil, че без много умуване се замества в $\sin x +\cos x=0$ и се стига до истината.

А не трябва ли да заместим й в (sinx + cosx +2) =0?

[KOPMOPAH]

А не трябва ли да заместим й в (sinx + cosx +2) =0?

Няма смисъл, защото този израз винаги е положителен и няма как да стане равен на нула.

Скрит текст: покажи

А изразът е винаги положителен, защото синусът и косинусът може в определени случаи (кои?) да са равни на $(-1)$, но не и за един и същ $x$