Ту задача

[antoniy]

IMG_5687.jpeg (108.86 KiB) Прегледано 323 пъти

[ammornil]

Screenshot 2025-06-05 131853.png (47.3 KiB) Прегледано 317 пъти

$\\[12pt] ABCM, M\notin{p(ABC)} \\[6pt] AB=BC=AC=a, MO\bot{p(ABC)}, \angle{MBO}=\angle{MCO}=\phi, E\in{BC}, OE\bot{BC} \\[6pt] MO=?\\[12pt]\triangle{MOB}\cong \triangle{MOC} \begin{cases} \text{правоъгълни} \\ \angle{CMO}= \angle{BMO}= 90^{\circ}-\phi \\ MO \text{ обща} \end{cases} \Rightarrow \text{ 2-ри признак } \Rightarrow \begin{cases} BO=CO \\ MC=MB \end{cases} \\[6pt] \triangle{BOC}: \quad \begin{cases} BO=CO \\ OE\bot{BC} \end{cases} \Rightarrow BE=CE= \dfrac{a}{2} \\[6pt] \triangle{BMC}:\quad \begin{cases} MC=MB \\ CE= BE \end{cases} \Rightarrow ME\bot{BC} \\[6pt] \begin{cases} p(ABC)\cap{p(BCM)}= BC\\ ME\bot{BC} \\ OE\bot{BC} \end{cases} \Rightarrow \angle{MEO}=\alpha \\[6pt] \triangle{MOC}: \quad MO=x \Rightarrow \tg{\phi}=\dfrac{MO}{CO} \Rightarrow CO=\dfrac{x}{ \tg{\phi}} \\[6pt] \triangle{MOE}: \quad OE= \dfrac{MO}{\tg{\alpha}}= \dfrac{x}{\tg{\phi}\tg{\alpha}} \\[6pt] \triangle{OEC}: \quad OC^{2}= OE^{2}+ CE^{2} \quad \Leftrightarrow \quad \left(\dfrac{x}{ \tg{\phi}} \right)^{2}= \left(\dfrac{x}{\tg{\phi}\tg{\alpha}}\right)^{2} +\left(\dfrac{a}{2}\right)^{2} \\[6pt] \quad \Leftrightarrow \quad x^{2}\left( \dfrac{1}{\tg^{2}{\phi}} - \dfrac{1}{\tg^{2}{\phi}\tg^{2}{\alpha}} \right)=\dfrac{a^{2}}{4} \quad \Leftrightarrow \quad x^{2}\left(\dfrac{\tg^{2}{\alpha}-1}{\tg^{2}{\phi}\tg^{2}{\alpha}} \right)=\dfrac{a^{2}}{4} \quad \Leftrightarrow \quad \\[6pt] x= \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4}\cdot{\dfrac{\tg^{2}{\phi}\tg^{2}{\alpha}}{\tg^{2}{\alpha}-1}}} \quad \Leftrightarrow \quad x= \dfrac{a\tg{\phi}\tg{\alpha}}{2}\cdot{\dfrac{1}{\sqrt{\tg^{2}{\alpha}-1}}} \\[6pt]$ $$ x= \dfrac{a\tg{\phi}\tg{\alpha}\sqrt{\tg^{2}{\alpha}-1}}{2(\tg^{2}{\alpha}-1)} $$ Прегледайте за грешки при пренасянето, защото писах в LaTeX.

[antoniy]

Прикачения файл Screenshot 2025-06-05 131853.png вече е недостъпен

$\\[12pt] ABCM, M\notin{p(ABC)} \\[6pt] AB=BC=AC=a, MO\bot{p(ABC)}, \angle{MBO}=\angle{MCO}=\phi, E\in{BC}, OE\bot{BC} \\[6pt] MO=?\\[12pt]\triangle{MOB}\cong \triangle{MOC} \begin{cases} \text{правоъгълни} \\ \angle{CMO}= \angle{BMO}= 90^{\circ}-\phi \\ MO \text{ обща} \end{cases} \Rightarrow \text{ 2-ри признак } \Rightarrow \begin{cases} BO=CO \\ MC=MB \end{cases} \\[6pt] \triangle{BOC}: \quad \begin{cases} BO=CO \\ OE\bot{BC} \end{cases} \Rightarrow BE=CE= \dfrac{a}{2} \\[6pt] \triangle{BMC}:\quad \begin{cases} MC=MB \\ CE= BE \end{cases} \Rightarrow ME\bot{BC} \\[6pt] \begin{cases} p(ABC)\cap{p(BCM)}= BC\\ ME\bot{BC} \\ OE\bot{BC} \end{cases} \Rightarrow \angle{MEO}=\alpha \\[6pt] \triangle{MOC}: \quad MO=x \Rightarrow \tg{\phi}=\dfrac{MO}{CO} \Rightarrow CO=\dfrac{x}{ \tg{\phi}} \\[6pt] \triangle{MOE}: \quad OE= \dfrac{MO}{\tg{\alpha}}= \dfrac{x}{\tg{\phi}\tg{\alpha}} \\[6pt] \triangle{OEC}: \quad OC^{2}= OE^{2}+ CE^{2} \quad \Leftrightarrow \quad \left(\dfrac{x}{ \tg{\phi}} \right)^{2}= \left(\dfrac{x}{\tg{\phi}\tg{\alpha}}\right)^{2} +\left(\dfrac{a}{2}\right)^{2} \\[6pt] \quad \Leftrightarrow \quad x^{2}\left( \dfrac{1}{\tg^{2}{\phi}} - \dfrac{1}{\tg^{2}{\phi}\tg^{2}{\alpha}} \right)=\dfrac{a^{2}}{4} \quad \Leftrightarrow \quad x^{2}\left(\dfrac{\tg^{2}{\alpha}-1}{\tg^{2}{\phi}\tg^{2}{\alpha}} \right)=\dfrac{a^{2}}{4} \quad \Leftrightarrow \quad \\[6pt] x= \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4}\cdot{\dfrac{\tg^{2}{\phi}\tg^{2}{\alpha}}{\tg^{2}{\alpha}-1}}} \quad \Leftrightarrow \quad x= \dfrac{a\tg{\phi}\tg{\alpha}}{2}\cdot{\dfrac{1}{\sqrt{\tg^{2}{\alpha}-1}}} \\[6pt]$ $$ x= \dfrac{a\tg{\phi}\tg{\alpha}\sqrt{\tg^{2}{\alpha}-1}}{2(\tg^{2}{\alpha}-1)} $$ Прегледайте за грешки при пренасянето, защото писах в LaTeX.

IMG_5698.jpeg (26.63 KiB) Прегледано 314 пъти

[antoniy]

Отговорът е в sin и cos, но мисля и че й така също е вярно

[ammornil]

Навям се не очаквате да Ви преобразувам израза с тангенсите до израза със синуси... Когато става въпрос за отговори с тригонометрия, никой отговор не е по-предпочитан, стига да е верен. Затова задачи с параметрична тригонометрия не могат да се оценяват машинно, поради голямия брой възможни варианти на отговора. Ако искате да получите техния отговор, $\\[6pt]MO=x \\[6pt] MC=\dfrac{MO}{\sin{\phi}} \\[6pt] ME=\dfrac{MO}{\sin{\alpha}} \\[6pt] CE=\dfrac{a}{2}\\[6pt] $ $$ MC^{2}=ME^{2}+CE^{2} \cdots$$ п.с. В отговора даден на снимката няма косинус.

[antoniy]

Screenshot 2025-06-05 131853.png

$\\[12pt] ABCM, M\notin{p(ABC)} \\[6pt] AB=BC=AC=a, MO\bot{p(ABC)}, \angle{MBO}=\angle{MCO}=\phi, E\in{BC}, OE\bot{BC} \\[6pt] MO=?\\[12pt]\triangle{MOB}\cong \triangle{MOC} \begin{cases} \text{правоъгълни} \\ \angle{CMO}= \angle{BMO}= 90^{\circ}-\phi \\ MO \text{ обща} \end{cases} \Rightarrow \text{ 2-ри признак } \Rightarrow \begin{cases} BO=CO \\ MC=MB \end{cases} \\[6pt] \triangle{BOC}: \quad \begin{cases} BO=CO \\ OE\bot{BC} \end{cases} \Rightarrow BE=CE= \dfrac{a}{2} \\[6pt] \triangle{BMC}:\quad \begin{cases} MC=MB \\ CE= BE \end{cases} \Rightarrow ME\bot{BC} \\[6pt] \begin{cases} p(ABC)\cap{p(BCM)}= BC\\ ME\bot{BC} \\ OE\bot{BC} \end{cases} \Rightarrow \angle{MEO}=\alpha \\[6pt] \triangle{MOC}: \quad MO=x \Rightarrow \tg{\phi}=\dfrac{MO}{CO} \Rightarrow CO=\dfrac{x}{ \tg{\phi}} \\[6pt] \triangle{MOE}: \quad OE= \dfrac{MO}{\tg{\alpha}}= \dfrac{x}{\tg{\phi}\tg{\alpha}} \\[6pt] \triangle{OEC}: \quad OC^{2}= OE^{2}+ CE^{2} \quad \Leftrightarrow \quad \left(\dfrac{x}{ \tg{\phi}} \right)^{2}= \left(\dfrac{x}{\tg{\phi}\tg{\alpha}}\right)^{2} +\left(\dfrac{a}{2}\right)^{2} \\[6pt] \quad \Leftrightarrow \quad x^{2}\left( \dfrac{1}{\tg^{2}{\phi}} - \dfrac{1}{\tg^{2}{\phi}\tg^{2}{\alpha}} \right)=\dfrac{a^{2}}{4} \quad \Leftrightarrow \quad x^{2}\left(\dfrac{\tg^{2}{\alpha}-1}{\tg^{2}{\phi}\tg^{2}{\alpha}} \right)=\dfrac{a^{2}}{4} \quad \Leftrightarrow \quad \\[6pt] x= \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4}\cdot{\dfrac{\tg^{2}{\phi}\tg^{2}{\alpha}}{\tg^{2}{\alpha}-1}}} \quad \Leftrightarrow \quad x= \dfrac{a\tg{\phi}\tg{\alpha}}{2}\cdot{\dfrac{1}{\sqrt{\tg^{2}{\alpha}-1}}} \\[6pt]$ $$ x= \dfrac{a\tg{\phi}\tg{\alpha}\sqrt{\tg^{2}{\alpha}-1}}{2(\tg^{2}{\alpha}-1)} $$ Прегледайте за грешки при пренасянето, защото писах в LaTeX.

Не трябва ли да бъде OE =[tex]\frac{x}{tg \alpha }[/tex]

[ammornil]

Да, благодаря за корекцията.

[antoniy]

Да, благодаря за корекцията.

Накрая се получава същото като в снимката с отговора [tex]\frac{a}{2}[/tex] . [tex]\frac{tg \alpha . tg \varphi}{\sqrt{ tg^{2 } \alpha -tg^{2 } \varphi}}[/tex]