Задача 27

[antoniy]

IMG_5708.jpeg (66.2 KiB) Прегледано 419 пъти

Реших задачата, ама ми се получи, че НГС= -3, а НМС= 17 (което логически няма смисъл и следователно ги обърнах)

[antoniy]

IMG_5706.jpeg (903.63 KiB) Прегледано 417 пъти

[S.B.]

IMG_5708.jpeg

Реших задачата, ама ми се получи, че НГС= -3, а НМС= 17 (което логически няма смисъл и следователно ги обърнах)

[tex]f(x) = x^{3 } - 3 x^{2 } +1, x \in (- \infty ; + \infty)[/tex]

[tex]f'(x) = 3 x^{2 } - 6x[/tex]
[tex]f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2 } - 6x = 0 \Leftrightarrow x(x - 2) = 0 \Rightarrow x_{1 }= 0, x_{2 } = 2[/tex]
[tex]f''(x) = 6x - 6[/tex]
[tex]f''(0) = -6 < 0\Rightarrow[/tex] за $x = 0$ функцията достига своят максимум
[tex]f''(2) = 12-6 = 6>0 \Rightarrow[/tex] за $x= 2$ функцията достига своя минимум

[tex]x \in (- \infty; 0)[/tex] функцията расте, [tex]x = 0, f_{max } = 1[/tex]
[tex]x \in (0 ; 2)[/tex] функцията намалява , [tex]x = 2 , f_{min } = -3[/tex]
[tex]x \in (2;+ \infty )[/tex] функцията расте неограничено

Да разгледаме затвореният интервал $[0 ; 4]$

За $x = 0 ,f(0)= 1$
За $ x = 2 , f(2) = -3$
За $x = 4,f(4) = 17$
НГС = 17, НМС = -3
Това е така,защото при $x>2$ функцията расте неограничено

[antoniy]

IMG_5708.jpeg

Реших задачата, ама ми се получи, че НГС= -3, а НМС= 17 (което логически няма смисъл и следователно ги обърнах)

[tex]f(x) = x^{3 } - 3 x^{2 } +1, x \in (- \infty ; + \infty)[/tex]

[tex]f'(x) = 3 x^{2 } - 6x[/tex]
[tex]f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2 } - 6x = 0 \Leftrightarrow x(x - 2) = 0 \Rightarrow x_{1 }= 0, x_{2 } = 2[/tex]
[tex]f''(x) = 6x - 6[/tex]
[tex]f''(0) = -6 < 0\Rightarrow[/tex] за $x = 0$ функцията достига своят максимум
[tex]f''(2) = 12-6 = 6>0 \Rightarrow[/tex] за $x= 2$ функцията достига своя минимум

[tex]x \in (- \infty; 0)[/tex] функцията расте, [tex]x = 0, f_{max } = 1[/tex]
[tex]x \in (0 ; 2)[/tex] функцията намалява , [tex]x = 2 , f_{min } = -3[/tex]
[tex]x \in (2;+ \infty )[/tex] функцията расте неограничено

Да разгледаме затвореният интервал $[0 ; 4]$

За $x = 0 ,f(0)= 1$
За $ x = 2 , f(2) = -3$
За $x = 4,f(4) = 17$
НГС = 17, НМС = -3
Това е така,защото при $x>2$ функцията расте неограничено

Защо намирате втората производна?

[S.B.]

Защо намирате втората производна?

Ако [tex]f'( x_{0 }) = 0[/tex], това показва,че за [tex]x = x_{0 }[/tex] дадената функция притежава ЕКСТРЕМУМ.
Знакът на на втората производна за [tex]x = x_{0 }[/tex] определя какъв е екстремумът на функцията:
Ако [tex]f''( x_{0 }) > 0 \Rightarrow[/tex] за [tex]x = x_{0 }[/tex] функцията достига своя МИНИМУМ
Ако [tex]f''( x_{0 }) < 0 \Rightarrow[/tex] за [tex]x = x_0[/tex] функцията достига своя МАКСИМУМ

Скрит текст: покажи

Добре ще бъде ако отвориш учебника и си припомниш уроците за изследване на функция

[ptj]

Решението на S.B. е стандартно и правилно,

но има начин то да се скъси (или представи по малко по-различен начин):

Всички полиноми са непрекъснати функции.

Тогава абсолютните екстремуми на [tex]f(x)[/tex] се достигат или в крайна точка на интервала или в някой вътрешен локален екстремум.

[tex]f(0)=1, f(4)=17[/tex]

[tex]f'(x)=3x^2-6x[/tex]

[tex]f'(x)=0 \Leftrightarrow x(x-2)=0[/tex]

[tex]f(2)=-3[/tex]

От намерените 3 точки 2 със сигурност са абсолютните екстремуми.

т.е. [tex]x \in [0;4] : (min\{f(x)\}=-3) \cup (max\{f(x)\}=17)[/tex].

П.П. Съществено е, че всеки локален екстремум нулира първата производна. Тогава сравнявайки функционалните стойности за всички подобни точки ние със сигурност ще "хванем" локалните екстремуми".