Ту задача 8

[antoniy]

IMG_5757.jpeg (70.65 KiB) Прегледано 512 пъти

[ammornil]

$f(x)=3\sin{x}-4\cos{x} \\[6pt] f'(x)=3\cos{x}+4\sin{x} \\[6pt] \exists{f(x)_{extr}} \Rightarrow f'(x) =0 \\[6pt] \because{tg\dfrac{x}{2}}=t \Rightarrow \begin{cases} \sin{x}=\dfrac{2t}{1+t^{2}} \\[6pt] \cos{x}=\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}} \end{cases} \\[6pt] 3\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+4\dfrac{2t}{1+t^{2}} =0 \\[6pt] 3-3t^{2}+8t=0 \Leftrightarrow 3t^{2} -8t -3=0 \quad t_{1,2}= \dfrac{4\pm\sqrt{(-4)^{2}-3\cdot{(-3)}}}{3}= \dfrac{4\pm{5}}{3} \Rightarrow t_{1}=-\dfrac{1}{3} \cup t_{2}=3 \\[6pt] \begin{cases} \sin{x_{1}}=\dfrac{2t_{1}}{1+t_{1}^{2}}= \dfrac{-\dfrac{2}{3}}{\dfrac{10}{9}}= -\dfrac{3}{5} \\[24pt] \cos{x_{1}}=\dfrac{1-t_{1}^{2}}{1+t_{1}^{2}}= \dfrac{\dfrac{8}{9}}{\dfrac{10}{9}}= \dfrac{4}{5} \end{cases} \quad \cup \quad \begin{cases} \sin{x_{2}}=\dfrac{2t_{2}}{1+t_{2}^{2}}= \dfrac{6}{10}= \dfrac{3}{5} \\[24pt] \cos{x_{2}}=\dfrac{1-t_{2}^{2}}{1+t_{2}^{2}}= \dfrac{-8}{10}= -\dfrac{4}{5} \end{cases} \\[12pt] f(x_{1})= 3\cdot{\left(-\dfrac{3}{5} \right)}- 4\cdot{\dfrac{4}{5}}=\dfrac{-9-16}{5}= -5 \\ f(x_{2})= 3\cdot{ \dfrac{3}{5} }- 4\cdot{\left(-\dfrac{4}{5}\right)}=\dfrac{9+16}{5}= 5 \\[6pt] \Rightarrow f(x) \in[-5;5] $

[antoniy]

$f(x)=3\sin{x}-4\cos{x} \\[6pt] f'(x)=3\cos{x}+4\sin{x} \\[6pt] \exists{f(x)_{extr}} \Rightarrow f'(x) =0 \\[6pt] \because{tg\dfrac{x}{2}}=t \Rightarrow \begin{cases} \sin{x}=\dfrac{2t}{1+t^{2}} \\[6pt] \cos{x}=\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}} \end{cases} \\[6pt] 3\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+4\dfrac{2t}{1+t^{2}} =0 \\[6pt] 3-3t^{2}+8t=0 \Leftrightarrow 3t^{2} -8t -3=0 \quad t_{1,2}= \dfrac{4\pm\sqrt{(-4)^{2}-3\cdot{(-3)}}}{3}= \dfrac{4\pm{5}}{3} \Rightarrow t_{1}=-\dfrac{1}{3} \cup t_{2}=3 \\[6pt] \begin{cases} \sin{x_{1}}=\dfrac{2t_{1}}{1+t_{1}^{2}}= \dfrac{-\dfrac{2}{3}}{\dfrac{10}{9}}= -\dfrac{3}{5} \\[24pt] \cos{x_{1}}=\dfrac{1-t_{1}^{2}}{1+t_{1}^{2}}= \dfrac{\dfrac{8}{9}}{\dfrac{10}{9}}= \dfrac{4}{5} \end{cases} \quad \cup \quad \begin{cases} \sin{x_{2}}=\dfrac{2t_{2}}{1+t_{2}^{2}}= \dfrac{6}{10}= \dfrac{3}{5} \\[24pt] \cos{x_{2}}=\dfrac{1-t_{2}^{2}}{1+t_{2}^{2}}= \dfrac{-8}{10}= -\dfrac{4}{5} \end{cases} \\[12pt] f(x_{1})= 3\cdot{\left(-\dfrac{3}{5} \right)}- 4\cdot{\dfrac{4}{5}}=\dfrac{-9-16}{5}= -5 \\ f(x_{2})= 3\cdot{ \dfrac{3}{5} }- 4\cdot{\left(-\dfrac{4}{5}\right)}=\dfrac{9+16}{5}= 5 \\[6pt] \Rightarrow f(x) \in[-5;5] $

Благодаря много!

[Гост]

Screenshot_1.png (10.52 KiB) Прегледано 496 пъти

[ptj]

Линейна комбинация на непрекъснати функции също е непрекъсната функция.

Освен това при [tex]cos(x)=1[/tex] съответната стойност за фукцията е [tex]-4[/tex].

От дадените 4 отговора единствено отговор a.) съдържа -4.