задача по геометрия

[Гост]

За правоъгълния △ABC с катети BC =a и AC= b е построена права, перпендикулярна на хипотенузата, която разделя △ABC на △ANM и четириъгълник NBCM. Ако лицето на триъгълник ANM и лицето на четириъгълника NBCM са равни , то намерете лицето на описания около четириъгълника NBCM кръг.

[Darina73]

[tex]S_{кръг } = \frac{ \pi }{8}[ 3( a^{2 } +b^{2 } ) -2 b\sqrt{2( a^{2 } +b^{2 }) } ][/tex] ?

[KOPMOPAH]

[tex]S_{кръг } = \frac{ \pi }{8}[ 3( a^{2 } +b^{2 } ) -2 b\sqrt{2( a^{2 } +b^{2 }) } ][/tex] ?

И аз получих толкова. Ето как:

Задача по геометрия.png (9.17 KiB) Прегледано 404 пъти

Триъгълникът $\triangle AMN$ има лице, равно на половината от лицето на $\triangle ABC$, следователно $MN=\frac a{\sqrt 2}$ и $AM=\frac b{\sqrt 2}$, като съответни страни в подобните триъгълници $\triangle AMN$ и $\triangle ABC$.
Лицето на кръга е $$S=\frac {\pi\cdot BN^2}4,$$а диаметъра $BN$ намираме по Питагорова теорема за $\triangle BMC$.$$BN^2=\left(\frac a{\sqrt 2}\right)^2+\left(\sqrt{a^2+b^2}-\frac b{\sqrt 2}\right)^2$$

[S.B.]

За правоъгълния △ABC с катети BC =a и AC= b е построена права, перпендикулярна на хипотенузата, която разделя △ABC на △ANM и четириъгълник NBCM. Ако лицето на триъгълник ANM и лицето на четириъгълника NBCM са равни , то намерете лицето на описания около четириъгълника NBCM кръг.

Без заглавие - 2025-06-26T170857.211.png (216.84 KiB) Прегледано 385 пъти

Още един поглед върху задачата
[tex]AC= b,BC = a \Rightarrow AB = \sqrt{ a^{2 }+ b^{2 } }[/tex]
Нека [tex]AN = x, MN = y \Rightarrow AM = \sqrt{ x^{2 } + y^{2 } }[/tex]
[tex]\triangle ANM \approx \triangle ABC \Rightarrow \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} \Leftrightarrow \frac{ \sqrt{ x^{2 }+ y^{2 } } }{ \sqrt{ a^{2 }+ b^{2 } } } = \frac{y}{a} = \frac{x}{b}[/tex]
[tex]\Rightarrow x = \frac{b \sqrt{ x^{2 }+ y^{2 } } }{ \sqrt{ a^{2 } + b^{2 } } } ,y = \frac{a \sqrt{ x^{2 } + y^{2 } } }{ \sqrt{ a^{2 }+ b^{2 } } }[/tex]
[tex]S_{ABC } = 2 S_{ANM } \Leftrightarrow \frac{ab}{2} = 2 \frac{xy}{2} \Rightarrow xy= \frac{ab}{2}[/tex]

[tex]xy = \frac{b \sqrt{ x^{2 } + y^{2 } } }{ \sqrt{ a^{2 } + b^{2 } } } . \frac{a \sqrt{ x^{2 }+ y^{2 } } }{ \sqrt{ a^{2 } + b^{2 } } } = \frac{ab}{2} \Leftrightarrow \frac{ x^{2 } + y^{2 } }{ a^{2 } + b^{2 } } = \frac{1}{2} \Rightarrow (x^{2 }+ y^{2 }) = \frac{ a^{2 }+ b^{2 } }{2}[/tex]


За [tex]\triangle ABM[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]MB^{2 } = AM^{2 } + AB^{2 } - 2.AM.AB.\cos \alpha[/tex]

[tex]MB = 2R[/tex] (около $NBCM$ може да се опише окръжност с диаметър $MB$ )
[tex]\cos \alpha= \frac{AC}{AB} \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{b}{ \sqrt{ a^{2 }+ b^{2 } } }[/tex]

[tex]4 R^{2 } = ( x^{2 }+ y^{2 }) + ( a^{2 } + b^{2 }) - 2 \sqrt{ x^{2 }+ y^{2 } } . \sqrt{ a^{2 } + b^{2 } }. \frac{b}{ \sqrt{ a^{2 }+ b^{2 } } }[/tex]
[tex]4 R^{2 } = \frac{ a^{2 }+ b^{2 } }{2} + ( a^{2 }+ b^{2 }) - 2b \sqrt{ \frac{ a^{2 }+ b^{2 } }{2} }[/tex]
[tex]4 R^{2 } = \frac{3}{2}( a^{2 } + b^{2 } ) - b \sqrt{2( a^{2 }+ b^{2 } }[/tex]
[tex]R^{2 } = \frac{3}{8}( a^{2 }+ b^{2 }) - \frac{b \sqrt{2( a^{2 } + b^{2 } } }{4}[/tex]
$$\Rightarrow S_{кр } = \pi [ \frac{3}{8}( a^{2 }+ b^{2 }) - \frac{b}{4} \sqrt{2( a^{2 }+ b^{2 }) }]$$