Описан правилен тетраедер

[Гост]

Около сфера с радиус R е описан правилен тетраедер.Да се намери за коя стойност на основния ръб обемът на тетраедера е най-малък.

[ptj]

Нещо не е наред с формулировката на условието:

Правилния теъраедър има еднакви ръбове (т.е. стените му са равностранни триъгълници). Неговия обем е константа при фиксиран радиус на вписана сфера.

[S.B.]

Спомням си,че тази задача е минавала през ръцете ми.В сборника имаше и решение.Задачата беше решена не като правилен тетраедер,а като правилна триъгълна пирамида,в която е вписана сфера с радиус R.
Явно условието е сбъркано и вместо правилна триъгълна пирамида е отпечатано правилен тетраедер.

[S.B.]

Около сфера с радиус R е описан правилен тетраедер.Да се намери за коя стойност на основния ръб обемът на тетраедера е най-малък.

Без заглавие - 2025-07-26T123954.882.png (348.84 KiB) Прегледано 898 пъти

В задачата се търси стойност на ОСНОВНИЯ ръб за която обемът на тетраедера е най - малък, но като се знае,че при правилния тетраедер всички ръбове са равни,явно става дума не за основен ръб на правилен тетраедер, а за основен ръб на правилна триъгълна пирамида описана около сфера с радиус $R$

Пирамидата е правилна ,следователно върхът $D$ се проектира върху медицентъра на основата $H$.Центърът на сферата е пресечна точка на височината $DH$ и ъглополовящите равнини на ъгълите образувани от основата на пирамидата и околните стени.
По околния ръб $AD$ и медианата [tex]A A_{1 }[/tex] построявам сечението [tex]A A_{1 }D[/tex] в което сферата се вижда като окръжност,която се допира до основата и околната стена $BCD$,но не се допира до околния ръб $AD$

Нека основният ръб отбележим с $x$, $DH = h$,[tex]\angle H A_{1 }D = \alpha[/tex]
[tex]H A_{1 } = r[/tex] - радиус на вписаната в [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност [tex]r = \frac{1}{3}A A_{1 } = \frac{1}{3} \frac{x \sqrt{3} }{2} \Rightarrow r = \frac{x \sqrt{3} }{6}[/tex]
Построявам [tex]ON ||A A_{1 } , N \in[/tex] на окръжността, [tex]NM \bot A A_{1 }, M \in A A_{1 }[/tex]
$HMNO$ е квадрат, $OH = HM = R$
[tex]\Rightarrow R< r \Leftrightarrow R< \frac{x \sqrt{3} }{6} \Rightarrow x> 2R \sqrt{3}[/tex]
Получихме за Д.М. на основния ръб:
$$x \in (2R \sqrt{3} ; + \infty )$$

[tex]A_{1 }O[/tex] е ъглополовяща на [tex]\alpha \Rightarrow \angle H A_{1 }O = \frac{ \alpha }{2}[/tex]
От [tex]\triangle H A_{1 }D \rightarrow \frac{HD}{H A_{1 } } = \tg \alpha \Leftrightarrow \frac{h}{r}= \tg \alpha \Leftrightarrow h = \frac{x \sqrt{3} }{6}\tg \alpha[/tex]

От [tex]\triangle H A_{1 }O \rightarrow \frac{OH}{O A_{1 } } = \tg \frac{ \alpha }{2} \Leftrightarrow \frac{R}{r} = \tg \frac{ \alpha }{2}[/tex]

[tex]\tg \alpha = \frac{2\tg \frac{ \alpha }{2} }{1 - \tg^{2 } \frac{ \alpha }{2} } = \frac{2 \frac{R}{r} }{1 - (\frac{R}{r}) ^{2 } }...= \frac{4R \sqrt{3}x }{ x^{2 } - 12 R^{2 } }[/tex]

[tex]h = r\tg \alpha \Rightarrow .....h = \frac{2 Rx^{2 } }{ x^{2 } - 12 R^{2 } }[/tex]

[tex]V_{DABC } = \frac{h}{3}. S_{ABC } \Leftrightarrow V_{DABC } = \frac{1}{3}. \frac{2R x^{2 } }{ x^{2 } - 12 R^{2 } }. \frac{ x^{2 } \sqrt{3} }{4}[/tex]
$$V(x) = \frac{R \sqrt{3} }{6} \frac{ x^{4} }{ x^{2 }- 12 R^{2 } } $$
[tex]V'(x) = \frac{R \sqrt{3} }{6} .\frac{2 x^{5 } - 48 R^{2 } x^{3 } }{ ( x^{2 } -12 R^{2 }) ^{2 } }[/tex]

[tex]V'(x) \ge 0 \Leftrightarrow 2 x^{3 }(x - 2 \sqrt{6}R)(x + 2 \sqrt{6}R) \ge 0[/tex]
[tex]x >0 \Rightarrow x^{3 } > 0[/tex]

[tex]\begin{cases} (x - 2 \sqrt{6}R)(x + 2 \sqrt{6} R) \ge 0 \\ x \in (2R \sqrt{3};+ \infty) \end{cases}[/tex]

За [tex]x \in (2R \sqrt{3}; 2R \sqrt{6} ), V'(x) <0[/tex]
За [tex]x = 2R \sqrt{6} , V'(x) = 0[/tex]
За [tex]x \in (2R \sqrt{6} ;+ \infty ) ,V'(x) >0[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] за [tex]x = 2R\sqrt{6}[/tex] функцията притежава минимум.
Най- малък обем ще се получи при основен ръб със стойност [tex]2R \sqrt{6}[/tex]

Скрит текст: покажи

В тези африкански жеги не изключвам технически грешки при пресмятането,но мисля,че идеята е ясна