Система с два параметъра

[S.B.]

За кои стойности на реалните параметри $a$ и $b$ системата:
$$\begin{array}{|l} 3^{2(x-y) } - 6. 3^{-2x } - 3^{-y } > 0\\ax + by = 5 \end{array}$$
има решение?

[Гост]

Задачата е решавана в раздел „ИЗПИТИ / МАТУРИ”, секция „Кандидат-студенти”, тема „Параметрична система” публикувана на 12-и ноември, 2024 г.

viewtopic.php?f=85&t=33589

[pipi langstrump]

Ако положим $3^{x } = A$ и $3^y = B$ първия израз ще стане

[tex]\left(\frac {A}{B}\right)^2 - \frac{6}{A^2} - \frac{1}{B} >0[/tex] Умножаваме по $A^2B^2>0$:

$A^4 -6B^2 - A^2B >0$

Това неравенство може да се реши като биквадратно за А или като квадратно за B. Дискриминантата е хубава, така че става

$(A^2 - 3B)(A^2+2B)>0 \space$Втория множител е положителен и остава само $A^2- 3B >0 \space$ или

$3^{2x} - 3^{y+1} > 0$
$2x-y- 1>0$

Така стигаме до системата
$2x-y- 1>0$
$ax+by-5 =0$

която трябва са решава лесно.

[pipi langstrump]

Трябва да видим за кои a и b пространството над първата равнина не се пресича с втората. Ясно е, че равнините трябва да са успоредни иначе все някъде ще се пресекат и втората трябва да е под първата. Това са равнините $m(2x-y-1) = 0$, за които имаме $2m = a, -m = b, -m\le -5$. Значи решението е: ако $a = 2m, b = -m$ , където $m \ge 5$, системата няма решение, за всички други a и b има решения (безброй много).

[ammornil]

Трябва да видим за кои a и b пространството над първата равнина не се пресича с втората. Ясно е, че равнините трябва да са успоредни иначе все някъде ще се пресекат и втората трябва да е под първата. Това са равнините $m(2x-y-1) = 0$, за които имаме $2m = a, -m = b, -m\le -5$. Значи решението е: ако $a = 2m, b = -m$ , където $m \ge 5$, системата няма решение, за всички други a и b има решения (безброй много).

Според мен, първото уравнение е област от равнина, а второто е група прави, и се търси за кои стойности на параметрите $(a, b)$, групата съдържа само прави, които пресичат дадената област. Понеже имаме само две измерения $(x,y)$, областта и правите лежат в една равнина. Поправете ме ако греша.

[pipi langstrump]

Да, естествено, че са прави

[ammornil]

Благодаря. От единия Ви коментар реших че са две равнини, и се зачудих защо аз не ги виждам.

[S.B.]

Трябва да видим за кои a и b пространството над първата равнина не се пресича с втората. Ясно е, че равнините трябва да са успоредни иначе все някъде ще се пресекат и втората трябва да е под първата. Това са равнините $m(2x-y-1) = 0$, за които имаме $2m = a, -m = b, -m\le -5$. Значи решението е: ако $a = 2m, b = -m$ , където $m \ge 5$, системата няма решение, за всички други a и b има решения (безброй много).

Интересна идея за решаване на системата!

[S.B.]

За кои стойности на реалните параметри $a$ и $b$ системата:
$$\begin{array}{|l} 3^{2(x-y) } - 6. 3^{-2x } - 3^{-y } > 0\\ax + by = 5 \end{array}$$
има решение?

Моето решение :

[tex]3^{2(x -y) } -6. 3^{-2x } - 3^{-y }> 0 \Leftrightarrow 3^{2x - 2y } - 6. 3^{-2x } - 3^{-y }>0 \Leftrightarrow \frac{ 3^{2x } }{ 3^{2y } } - \frac{6}{ 3^{2x } } - \frac{1}{ 3^{y } }>0 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]3^{2x }. 3^{2x } - 6. 3^{2y } - 3^{2x }. 3^{y } > 0 \Leftrightarrow 3^{4x } - 6. 3^{2y } - 3^{2x + y } > 0 | : 3^{2y } \Leftrightarrow[/tex]

[tex]3^{2(2x-y) } - 3^{2x-y } - 6> 0[/tex]

Нека [tex]3^{2x - y } = t>0[/tex]
Замествам и получавам неравенството:[tex]t^{2 }-t-6>0 \Leftrightarrow (t+2)(t-3) >0 , t \in (- \infty ;-2 ) \cup (3 ; + \infty)[/tex]
[tex]t>0 \Rightarrow t \in (3 ; + \infty ) \Leftrightarrow t>3 \Leftrightarrow 3^{2x - y } > 3^{1 } \Rightarrow 2x - y > 1[/tex]

Така системата придобива следния вид:

[tex]\begin{array}{|l} 2x - y >1 \\ ax +by = 5 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} y <2x - 1 \\ by = 5 - ax \end{array}[/tex]

Очевидно е,че вариантът $a=0$ и $b=0$ е изключен

Нека [tex]b = 0, a \ne 0[/tex]

[tex]by = 5 - ax \Leftrightarrow 5 - ax = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{a} ; y < \frac{10}{a} - 1[/tex]
Получих,че за [tex]b = 0 , a \ne 0[/tex] системата има решение.

Нека [tex]b \ne 0 , a \ne 0[/tex]

[tex]ax + by = 5 \Rightarrow y = \frac{5 - ax}{b}[/tex]
[tex]y <2x - 1 \Leftrightarrow \frac{5 - ax}{b}< 2x - 1 \Leftrightarrow \frac{(5 + b) - x(a - 2b)}{b} < 0[/tex]

[tex]\begin{cases} \displaystyle \frac{5 + b - x(a + 2b)}{b}<0 \\ b>0\end{cases} \Rightarrow 5 + b - x(a + 2b) < 0 , x > \displaystyle\frac{5 + b}{a + 2b},a \ne -2b[/tex]
Има решение за $b>0$ и [tex]a \ne -2b[/tex]

[tex]\begin{cases} \displaystyle \frac{5 + b - x(a + 2b)}{b}<0 \\ b < 0 \end{cases} \Rightarrow 5 + b - x(a + 2b) > 0 , x<\displaystyle \frac{5 + b}{a + 2b}, a \ne -2b[/tex]
Има решение за [tex]b < 0 , a\ne -2b[/tex]

[pipi langstrump]

[tex]\begin{cases} \displaystyle \frac{5 + b - x(a + 2b)}{b}<0 \\ b < 0 \end{cases} \Rightarrow 5 + b - x(a + 2b) > 0 , x<\displaystyle \frac{5 + b}{a + 2b}, a \ne -2b[/tex]
Има решение за [tex]b < 0 , a\ne -2b[/tex]

Има решение и за случая a=-2b, 0>b > -5 . Така че обединено с предишната система се получава, че: при b > -5 и a = -2b също имаме решения. Това си излиза елегантно от геометричното решение - това са случаите, когато правата ax + by -5 = 0 е успоредна на другата, но лежи в пространството над нея -> безброй много решения.

[S.B.]

[tex]\begin{cases} \displaystyle \frac{5 + b - x(a + 2b)}{b}<0 \\ b < 0 \end{cases} \Rightarrow 5 + b - x(a + 2b) > 0 , x<\displaystyle \frac{5 + b}{a + 2b}, a \ne -2 \Rightarrow b[/tex]
Има решение за [tex]b < 0 , a\ne -2b[/tex]

Има решение и за случая a=-2b, 0>b > -5 . Така че обединено с предишната система се получава, че: при b > -5 и a = -2b също имаме решения. Това си излиза елегантно от геометричното решение - това са случаите, когато правата ax + by -5 = 0 е успоредна на другата, но лежи в пространството над нея -> безброй много решения.

Да, така е.Прав сте!Недооценяване от моя страна.

[tex]\begin{cases} \displaystyle \frac{5+b -x(a + 2b)}{b}<0 \\ b<0\\a=-2b\end{cases} \Leftrightarrow 5 + b -x.0 >0 \Leftrightarrow 5+b >0 \Rightarrow b >-5[/tex]
За [tex]b \in (-5;0)[/tex] системата има решение.