Триъгълник,ъглите му образуват аритметична прогресия

[Гост]

Лицето на триъгълника ABC е S = [tex]36 \sqrt{3}[/tex],радиусът на вписаната в него окръжност е r=3 , а ъглите му са различни и образуват аритметична прогресия.Да се намери радиусът R на описаната около триъгълника окръжност.

[S.B.]

Лицето на триъгълника ABC е S = [tex]36 \sqrt{3}[/tex],радиусът на вписаната в него окръжност е r=3 , а ъглите му са различни и образуват аритметична прогресия.Да се намери радиусът R на описаната около триъгълника окръжност.

Без заглавие - 2025-09-26T205754.872.png (251.07 KiB) Прегледано 329 пъти

Нека [tex]\angle A = \alpha ,d[/tex] е разликата на аритметичната прогресия , [tex]\angle C = \alpha - d , \angle B = \alpha +d[/tex]
[tex]\angle C + \angle A + \angle B = 180 ^\circ \Leftrightarrow \alpha - d + \alpha + \alpha + d = 180 ^\circ \Leftrightarrow 3 \alpha = 180 ^\circ \Rightarrow \alpha = 60 ^\circ[/tex]
$$\Rightarrow \angle A = 60 ^\circ $$
Центърът на вписаната окръжност $O$ лежи на пресечната точка на ъглополовящите,а окръжността се допира до страните на [tex]\triangle ABC[/tex] в точките $M,N,P$
$AM = AP = x, BM = BN = y , CN = CP = z$

[tex]\begin{cases} S_{ABC } = 36 \sqrt{3} \\ S_{ABC } = p.r \end{cases} \Rightarrow p.r = 36 \sqrt{3} \Leftrightarrow p.3 = 36 \sqrt{3}[/tex]
$$\Rightarrow p = 12 \sqrt{3} $$
[tex]P_{ABC } = 2x + 2y + 2z \Leftrightarrow p = x + y + z \Rightarrow x + y + z = 12 \sqrt{3}[/tex]

От [tex]\triangle AMO \rightarrow \frac{OM}{AM} = \tg 30 ^\circ \Leftrightarrow \frac{r}{x} = \tg 30 ^\circ \Leftrightarrow \frac{3}{x} = \frac{ \sqrt{3} }{3}[/tex]
$$\Rightarrow x = 3 \sqrt{3} $$
[tex]x+y+z = 12 \sqrt{x} \Leftrightarrow 3 \sqrt{3} + y + z = 12 \sqrt{3} \Rightarrow y + z = 9 \sqrt{3}[/tex]
[tex]\begin{cases} BC = y +z \\ y + z = 9 \sqrt{3} \end{cases} \Rightarrow BC = 9 \sqrt{3}[/tex]

За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Синусова теорема:
[tex]\frac{BC}{\sin A} = 2R \Leftrightarrow \frac{9 \sqrt{3} }{\sin 60 ^\circ } = 2R[/tex]

[tex]\displaystyle\frac{9 \sqrt{3} }{ \displaystyle\frac{ \sqrt{3} }{2} } = 2R \Leftrightarrow \displaystyle \frac{18 \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } = 2R[/tex]
$$\Rightarrow R = 9$$

[Darina73]

( 2 начин )
В решението си ще използвам намерените от колежката [tex]\angle[/tex]А=60[tex]^\circ[/tex] и р=12[tex]\sqrt{3}[/tex] .

S=[tex]\frac{bc.sinA}{2} ; 36 \sqrt{3} = \frac{bc \sqrt{3} }{2.2}[/tex] ;bc=144

Ойлерова формула cos[tex]\frac{ \alpha }{2}= \sqrt{ \frac{p(p-a)}{bc} }[/tex] ; [tex]cos^{2 }30 ^\circ = \frac{12 \sqrt{3}(12 \sqrt{3} -a) }{144}[/tex]

[tex]\frac{3}{4} =\frac{ \sqrt{3} (12\sqrt{3} -a) }{12}[/tex] ; a=9[tex]\sqrt{3}[/tex]

[tex]S =\frac{abc}{4R}[/tex] ; 36[tex]\sqrt{3}= \frac{9 \sqrt{3} .144 }{4R}[/tex] ; R=9