Конкурсна задача УНСС 2005г.

[Гост]

Основата на пирамидата ABCM е правоъгълен триъгълник ABC с катети AC = 21 см и BC = 28 см.Околните стени минаващи през катетите сключват с равнината на основата равни ъгли с големина 45[tex]^\circ[/tex],а третата околна стена е перпендикулярна на основата.Да се намерят обема и околната повърхнина на пирамидата.

Моля за помощ!

[S.B.]

Основата на пирамидата ABCM е правоъгълен триъгълник ABC с катети AC = 21 см и BC = 28 см.Околните стени минаващи през катетите сключват с равнината на основата равни ъгли с големина 45[tex]^\circ[/tex],а третата околна стена е перпендикулярна на основата.Да се намерят обема и околната повърхнина на пирамидата.

Моля за помощ!

Без заглавие - 2025-11-01T192938.603.png (331.85 KiB) Прегледано 114 пъти

От условието,че околните стени $ACM$ и $BCM$ сключват равни ъгли с основата ,следва,че $CM$ се проектира върху ъглополовящата [tex]l_{C }[/tex] на [tex]\angle ACB[/tex]
От условието,че околната стена [tex]AMB \bot ABC[/tex] следва,че върхът $M$ се проектира върху хипотенузата $AB$
[tex]l_{C } \cap AB = H \Rightarrow H[/tex] е проекцията на върха $M$ върху основата.

За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Питагорова теорема и намирам $AB = 35$
Построявам [tex]HP\bot CB , HQ \bot CA , HP = HQ[/tex] защото т.$H$ лежи на ъглополовящата $CH$
От свойството на ъглополовящата следва ,че [tex]\frac{HB}{HA} = \frac{CB}{CA}[/tex]
Нека $HB = x , HA = 35-x$
[tex]\frac{x}{35-x} = \frac{28}{21} \Leftrightarrow 7x = 140 \Rightarrow x = 20 \Rightarrow BH = 20 , AH = 15[/tex]
Нека [tex]\angle ABC = \beta, \sin \beta = \frac{AC}{AB}= \frac{21}{35} \Rightarrow \sin \beta = \frac{3}{5}[/tex]
За [tex]\triangle HBP \rightarrow \frac{HP}{HB} = \sin \beta \Leftrightarrow HP= 20. \frac{3}{5} \Rightarrow HP = HQ = 12[/tex]
$HM = HP = HQ = 12$ защото [tex]\triangle HMP[/tex] и [tex]\triangle HMQ[/tex] са правоъгълни равнобедрени.
[tex]\triangle HMP \cong \triangle HMQ[/tex] (ЗАЩО?) [tex]\Rightarrow MQ = MP[/tex]
$HQ$ и $HP$ са съответно проекции на $MQ$ и $MP$
[tex]HQ \bot AC , HP \bot BC \Rightarrow MQ \bot AC , MP \bot BC[/tex] (според теоремата за трите перпендикуляра)
Следователно $MQ = MP$ са апотеми в съответно в стените $ACM$ и $BCM$

[tex]V_{ABCM } = \frac{MH. S_{ABC } }{3} = ......[/tex]
[tex]S_{ок } = \frac{AC.MQ}{2} + \frac{BC.MP}{2} + \frac{AB.MH}{2}=....[/tex]
Имаш всичко необходимо за да намериш обема и околната повърхнина на пирамидата.
Удоволствието да довършиш задачата оставям на теб!

[Гост]

Благодаря Ви!