Правоъгълен триъгълник

[Гост]

В триъгълника ABC [tex]\angle[/tex]C е прав ъгъл.CH е височината към хипотенузата AB, т.H лежи на AB.
Ако периметърът на триъгълника AHC е 36 см, а периметърът на триъгълника BHC е 48 см да се намерят страните на триъгълника ABC.

[S.B.]

В триъгълника ABC [tex]\angle[/tex]C е прав ъгъл.CH е височината към хипотенузата AB, т.H лежи на AB.
Ако периметърът на триъгълника AHC е 36 см, а периметърът на триъгълника BHC е 48 см да се намерят страните на триъгълника ABC.

Без заглавие - 2026-01-23T114143.341.png (223.54 KiB) Прегледано 102 пъти

Нека [tex]AB = c , \angle A = \alpha , \angle HCB = \angle A = \alpha , \alpha \in (0 ; \frac{ \pi }{2})[/tex]

1) [tex]P_{AHC } = AH + HC + AC = 36[/tex]

[tex]\frac{AC}{AB} = \cos \alpha \Leftrightarrow AC = c.\cos \alpha[/tex] (от [tex]\triangle ABC[/tex])

[tex]\frac{HC}{AC} = \sin \alpha \Leftrightarrow HC = AC.\sin \alpha \Rightarrow HC = c.\cos \alpha .\sin\alpha[/tex] (от [tex]\triangle AHC[/tex])

[tex]\frac{AH}{AC} = \cos \alpha \Leftrightarrow AH = AC.\cos \alpha = c .\cos^{2 } \alpha[/tex] (от [tex]\triangle AHC[/tex])

$$AH + HC + AC = 36 \Leftrightarrow c. \cos^{2 } \alpha + c.\cos \alpha .\sin \alpha + c.\cos \alpha = 36$$
2) [tex]P_{BHC } = BH + BC + HC = 48[/tex]

[tex]\frac{BC}{AB} = \sin \alpha \Leftrightarrow BC = c.\sin \alpha[/tex] (от [tex]\triangle ABC[/tex])

[tex]\frac{BH}{BC} = \sin \alpha \Leftrightarrow BH = BC.\sin \alpha \Rightarrow BH = c. \sin^{2 } \alpha[/tex] (от [tex]\triangle HBC[/tex])

$$BH + HC + BC = 48 \Leftrightarrow c. \sin^{2 } \alpha+ c.\cos \alpha.\sin \alpha + c.\sin \alpha = 48 $$
Образувам системата:

[tex]\begin{array}{|l} c.\cos \alpha + c.\sin \alpha.\cos \alpha + c. cos^{2 } \alpha = 36 \\ c.\sin \alpha + c.\sin \alpha.\cos \alpha + c. \sin^{2 } \alpha = 48 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} c.\cos \alpha(1 + \sin \alpha + \cos \alpha) = 36 \\ c.\sin \alpha(1 + \cos \alpha + \sin \alpha) = 48 \end{array}[/tex]

След почленно деление на двете уравнения получавам:

$$\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha } = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{3}{4}.\sin \alpha$$
[tex]\sin^{2 } \alpha + \cos^{2 } \alpha= 1 \Leftrightarrow \sin^{2 } \alpha + \frac{9}{16} \sin^{2 } \alpha = 1 \Leftrightarrow \sin^{2 } \alpha = \frac{16}{25} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{4}{5} , \cos \alpha = \frac{3}{5}[/tex]
Замествам стойностите на [tex]\sin \alpha[/tex] и [tex]\cos \alpha[/tex] в системата и получавам :
$$ c = 25$$
Респективно за двата катета получавам : $AC = 20, BC = 15$
Окончателно:
$$AB = 25 , AC = 20, BC = 15$$

[Гост]

Благодаря!А може ли да се реши без тригонометрия?

[Darina73]

(2 начин) [tex]\triangle[/tex]HBC[tex]\approx \triangle[/tex]HCA (1 признак)

[tex]\frac{BC}{AC}= \frac{BH}{CH} =\frac{CH}{AH}= \frac{ P_{HBC } }{ P_{HCA } } ; \frac{BC}{AC} =\frac{BH}{CH} =\frac{CH}{AH} =\frac{48}{36} = \frac{4}{3}[/tex]

Означаваме BC=4x и AC=3x ,BH=4y ($) и CH=3y (1)
Тогава от (1) и [tex]\frac{CH}{AH}= \frac{4}{3} \Rightarrow AH=\frac{9y}{4}[/tex] (2)

[tex]P_{HBC }- P_{AHC }[/tex]=48-36
HB+BC+CH- (AH+AC+CH)=12
4y+4x- [tex]\frac{9y}{4}[/tex]-3x=12 ; x=[tex]\frac{48-7y}{4}[/tex] (3)
([tex]\triangle[/tex]ABC - правоъгълен) [tex]AC^{2 } +BC^{2 } =AB^{2 } ;
9x^{2 } +16x^{2 } =(AH+BH)^{2 }[/tex] (виж $ и (2))

25[tex]x^{2 }= ( \frac{9y}{4}+4y) ^{2 }[/tex] ; [tex](5x)^{2 } =( \frac{25y}{4} )^{2 }[/tex] ;5x=[tex]\frac{25y}{4} ; x= \frac{5y}{4}[/tex] (4)

От (3) и (4) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{48-7y}{4}= \frac{5y}{4}[/tex] ; y=4 ,тогава x=5

AC=3x=15 ,BC=4x=20 AB=[tex]\sqrt{ 15^{2 } +20^{2 } }[/tex]=25