Лице на трапец

[Гост]

В трапеца ABCD (AB||CD,AB > CD ) , AD=10, BC= 16.Ъгълът между бедрата е 60[tex]^\circ[/tex], а между диагоналите е 90[tex]^\circ[/tex].
Да се намери лицето на трапеца.

[Darina73]

Получих [tex]S_{ABCD }= \frac{120 \sqrt{43} }{7}[/tex]

Това ли е отговора ?

[S.B.]

В трапеца ABCD (AB||CD,AB > CD ) , AD=10, BC= 16.Ъгълът между бедрата е 60[tex]^\circ[/tex], а между диагоналите е 90[tex]^\circ[/tex].
Да се намери лицето на трапеца.

Без заглавие - 2026-01-28T212609.908.png (262.58 KiB) Прегледано 68 пъти

Построявам [tex]C C_{1 } || AD , C_{1 } \in AB , \begin{cases} C C_{1 }||AD \\ A C_{1 }|| CD \end{cases} \Rightarrow A C_{1 }CD[/tex] е успоредник
[tex]CC_{1 } = AD = 10, A C_{1 } = DC = x , \angle C_{1 }CB = 60 ^\circ[/tex]

За [tex]\triangle C_{1 }BC[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]C_{1 }B ^{2 } = C C_{1 } ^{2 } + CB^{2 } - 2.C C_{1 }.CB.\cos 60 ^\circ = 10^{2 } + 16^{2 } - 10.16 = 196 = 14^{2 }[/tex]
$$C_{1 }B = 14$$
прилагам Синусова теорема:
[tex]\frac{ C_{1 }B }{\sin60 ^\circ } = \frac{CB}{\sin \angle C C_{1 } B} \Leftrightarrow \sin \angle C C_{1 }B = \frac{CB.\sin 60 ^\circ }{ C_{1 }B } \Leftrightarrow \sin \angle C C_{1 }B = \frac{16. \sqrt{3} }{28} \Rightarrow \sin \angle C C_{1 } B = \frac{4 \sqrt{3} }{7}[/tex]
$$\sin \angle C C_{1 }B = \frac{4 \sqrt{3} }{7} \Rightarrow \cos \angle C C_{1 }B = \frac{1}{7} $$
Построявам [tex]CH \bot AB , H \in C_{1 }B[/tex]
От правоъгълния [tex]\triangle C_{1 }HC[/tex]:
[tex]\frac{CH}{C C_{1 } } = \sin \angle C C_{1 }B \Leftrightarrow CH = 10. \frac{4 \sqrt{3} }{7} \Rightarrow CH = \frac{40 \sqrt{4} }{7}[/tex]

[tex]\frac{ C_{1 }H }{C C_{1 } } = \cos \angle C C_{1 }B \Leftrightarrow C_{1 }H = 10. \frac{1}{7} \Rightarrow C_{1 }H = \frac{10}{7}[/tex]

[tex]BH = C_{1 }B - C_{1 }H = 14 - \frac{10}{7} \Rightarrow BH = \frac{88}{7}[/tex]

Подлагам диагонала $BD$ на транслация с вектор [tex]\vec{DC}[/tex] при която [tex]D \rightarrow C , B \rightarrow B_{1 }[/tex]
[tex]B B_{1 }CD[/tex] е успоредник, [tex]B B_{1 } = DC = x[/tex]
[tex]\triangle A B_{1 }C[/tex] е правоъгълен с хипотенуза [tex]A B_{1 }[/tex] и височина към хипотенузата $CH$
[tex]CH^{2 } = AH.H B_{1 } \Leftrightarrow ( \frac{40 \sqrt{3} }{7}) ^{2 } = (x + \frac{10}{7} )(x + \frac{88}{7})[/tex]
След преобразуване се получава уравнението:
[tex]x^{2 } + 14x -80 = 0 , D = 516 = 4.129 , x_{1,2 } = \frac{-14 \pm 2 \sqrt{129} }{2}[/tex]
[tex]x >0 \Rightarrow x = -7 + \sqrt{129} \Rightarrow A B_{1 } = 2x+14 = -14 +2 \sqrt{129}+ 14[/tex]
$$\Rightarrow A B_{1 } = 2\sqrt{129} $$
Триъгълникът [tex]A B_{1 }C[/tex] е равнолицев на трапеца $ABCD$

[tex]\Rightarrow S_{ABCD } = \frac{A B_{1 }.CH }{2} = \frac{2 \sqrt{3.43} }{2}. \frac{40 \sqrt{3} }{7}= \frac{ \sqrt{3} . \sqrt{43}.40 \sqrt{3} }{7}[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABCD } = \frac{120 \sqrt{43} }{7} $$

[Гост]

Благодаря за решението!

[Darina73]

Ето и моята идея .
Нека правите AD и BC се пресичат в т.N ,а AC и BD се пресичат в т.О .
Височина на трапеца е CH и построяваме още една височина [tex]DH_{1 }[/tex] .
Построяваме успоредник FBCD .
AB=a=? CD=b=? CH=h=?

[tex]a^{2 } +b^{2 } =AO^{2 } +BO^{2 } +CO^{2 } +DO^{2 }[/tex]
[tex]AD^{2 } +BC^{2 } =AO^{2 } +DO^{2 } +BO^{2 } +CO^{2 }[/tex] т.е. 100+256=[tex]AO^{2 } +BO^{2 } +CO^{2 } +DO^{2 }[/tex]
Следователно [tex]a^{2 } +b^{2 }[/tex]=356 (1)
([tex]\triangle[/tex]AFD -cos T) [tex]AF^{2 } =AD^{2 } +FD^{2 }-2AD.FD.cos60 ^\circ[/tex]
[tex](a-b)^{2 }[/tex]=100+256-2.10.16.[tex]\frac{1}{2}[/tex]
[tex]a^{2 } +b^{2 }[/tex]-2ab= 356-160 (2) ползваме (1)
356-2ab=356-160 [tex]\Rightarrow[/tex] ab=80 (3)
[tex](a+b)^{2 } =a^{2 } +b^{2 }[/tex]+2ab
[tex](a+b)^{2 }[/tex]= 356+2.80 ; a+b=2[tex]\sqrt{129}[/tex] (4)
( [tex]\triangle AH_{1 }D -[/tex]правоъгълен ) sin[tex]\alpha= \frac{h}{10}[/tex] (5) [tex]\Rightarrow[/tex] cos[tex]\alpha= \frac{ \sqrt{100- h^{2 } } }{10}[/tex] (6)
( [tex]\triangle[/tex]HBC -правоъгълен ) sin[tex]\angle[/tex]ABC=sin[tex]\angle[/tex]ABN=[tex]\frac{h}{16}[/tex] ;sin(120[tex]^\circ- \alpha)= \frac{h}{16}[/tex]

[tex]\frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex].cos[tex]\alpha[/tex]+[tex]\frac{1}{2} .sin \alpha = \frac{h}{16}[/tex] |.16[tex]\ne[/tex]0
[tex]8\sqrt{3}. \frac{ \sqrt{100- h^{2 } } }{10}+8. \frac{h}{10} = h[/tex] |.5[tex]\ne[/tex]0
[tex]4\sqrt{3(100- h^{2 }) }[/tex]=h ; 16.3.100-16.3[tex]h^{2 }= h^{2 }[/tex] ;16.3.100=49[tex]h^{2 }[/tex] ; h=[tex]\frac{40 \sqrt{3} }{7}[/tex] (7)

[tex]S_{ABCD }= \frac{(a+b)h}{2} = \frac{2 \sqrt{129} . \frac{40 \sqrt{3} }{7} }{2}= \frac{ \sqrt{43.3}.40 \sqrt{3} }{7}= \frac{120 \sqrt{43} }{7}[/tex]