Re: Правоъгълен триъгълник

[Гост]

В [tex]\triangle ABC , \angle C = 90 ^\circ[/tex] е построена е височината $CH$.Да се намери разстоянието между центровете на вписаните в [tex]\triangle AHC[/tex] и [tex]\triangle BHC[/tex] окръжности.

[Гост]

Моля за извинение!
Дадено е още,че BC=a , AC=b ,a>b
Още веднъж моля за извинение и предварително благодаря за помощта!

[Darina73]

Получавам [tex]\frac{ \sqrt{2} }{2}(a+b- \sqrt{ a^{2 } +b^{2 } })[/tex]

Това ли е верния оговор ?

[S.B.]

В [tex]\triangle ABC , \angle C = 90 ^\circ[/tex] е построена е височината $CH$.Да се намери разстоянието между центровете на вписаните в [tex]\triangle AHC[/tex] и [tex]\triangle BHC[/tex] окръжности.

Моля за извинение!
Дадено е още,че BC=a , AC=b ,a>b
Още веднъж моля за извинение и предварително благодаря за помощта!

Без заглавие - 2026-02-25T100732.659.png (252.82 KiB) Прегледано 105 пъти

Центърът на вписаната в триъгълник окръжност лежи на пресечната точка на ъглополовящите в триъгълника.
Нека в [tex]\triangle AHC[/tex] е вписана окръжност [tex]k_{1 }( O_{1 }, r_{1 })[/tex],а в [tex]\triangle BHC[/tex] е вписана окръжност [tex]k_{2 }( O_{2 }, r_{2 })[/tex]
[tex]H O_{1 }[/tex] и [tex]HO_{2 }[/tex] са ъглополовящи съответно на [tex]\angle CHA = \angle CHB = 90 ^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle O_{1 }HC = 45 ^\circ[/tex] , аналогично [tex]\angle O_{2 }HC = 45 ^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle O_{1 }H O_{2 } = 90 ^\circ \Rightarrow \triangle O_{1 }H O_{2 }[/tex] е правоъгълен.
Прилагаме Питагорова теорема и получавам:[tex]O_{1 } O_{2 } = \sqrt{ H O_{1 } ^{2 } + H O_{2 } ^{2 } }[/tex]
Нека точките $M$ и $N$ са допирните точки на вписаните окръжности с правата $AB$
Лесно се доказва, че [tex]\triangle MH O_{1 }[/tex] и [tex]\triangle NH O_{2 }[/tex] са равнобедрени правоъгълни триъгълници.
Като приложим за тях Питагорова теорема получаваме:
$$H O_{1 } ^{2 } = 2 r_{1 } ^{2 } , H O_{2 } ^{2 } = 2r_{2 } ^{2 }$$

За да намерим разстоянието между центровете ще трябва да намерим радиусите на вписаните окръжности.

Нека [tex]\angle A = \alpha \Rightarrow \angle HCB = \alpha[/tex] (ЗАЩО?)

[tex]AB = \sqrt{ a^{2 } + b^{2 } }[/tex]
[tex]\begin{cases} S_{ABC } = \displaystyle\frac{ab}{2} \\ S_{ABC } = \displaystyle\frac{ \sqrt{ a^{2 }+ b^{2 } } .CH}{2} \end{cases} \Rightarrow CH = \displaystyle \frac{ab}{ \sqrt{ a^{2 } + b^{2 } } }[/tex]

[tex]\frac{a}{ \sqrt{ x^{2 } + b^{2 } } } = \sin \alpha , \frac{b}{ \sqrt{ a^{2 } + b^{2 } } } = \cos \alpha[/tex]

[tex]\begin{cases} P_{AHC } = 2b + 2r_{1 } \\ P_{AHC } = AH + CH + b\end{cases} \Rightarrow 2b + 2 r_{1 } = AH + CH + b[/tex]
От [tex]\triangle AHC[/tex] :[tex]\frac{AH}{b} = \cos \alpha \Leftrightarrow AH = b\cos \alpha \Rightarrow AH = \frac{ b^{2 } }{ \sqrt{ a^{2 } + b^{2 } } }[/tex]
[tex]2b + 2 r_{1 } = AH + CH + b[/tex]
След заместване и преработка получаваме [tex]r_{1 } = \frac{b}{2}( \frac{a+b - \sqrt{ a^{2 } + b^{2 } } }{ \sqrt{ a^{2 } + b^{2 } } } )[/tex]
$$\Rightarrow r_{1 } ^{2 } = \frac{ b^{2 } (a + b - \sqrt{ a^{2 }+ b^{2 } }) ^{2 } }{4( a^{2 } + b^{2 }) }$$

След аналогични разсъждения и действия в [tex]\triangle BHC[/tex], за [tex]r_{2 } ^{2 }[/tex] получаваме:
$$r_{2 } ^{2 } = \frac{ a^{2 } (a + b - \sqrt{ a^{2 }+ b^{2 } }) ^{2 } }{4( a^{2 } + b^{2 }) }$$

[tex](O_{1 } O_{2 }) ^{2 } = 2 r_{1 } ^{2 } + 2 r_{2 } ^{2 } =[/tex]

[tex]= \frac{ b^{2 } (a + b - \sqrt{ a^{2 } + b^{2 } } )^{2 } }{2( a^{2 } + b^{2 } )} + \frac{ a^{2 } (a + b - \sqrt{ a^{2 }+ b^{2 } )} ^{2 } }{2( a^{2 } + b^{2 }) } =[/tex]

[tex]= \frac{ (a + b - \sqrt{ a^{2 } + b^{2 } }) ^{2 } ( a^{2 } + b^{2 }) }{2( a^{2 }+ b^{2 } ) } =[/tex]

[tex]= \frac{( a + b - \sqrt{ a^{2 } + b^{2 } }) ^{2 } }{2}[/tex]
$$\Rightarrow O_{1 } O_{2 } = \frac{a +b - \sqrt{ a^{2 } + b^{2 } } }{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2} ( a + b - \sqrt{ a^{2 }+ b^{2 } })$$

Скрит текст: покажи

Задачата не е трудна , но е с много "сметки" , което я прави по- скоро "хамалска"

[Гост]

Благодаря!