Тристенна пирамида

[Гост]

Основата на пирамида е правоъгълен триъгълник с остър ъгъл с големина [tex]\alpha[/tex].Височината на пирамидата минава през пресечната точка на хипотенузата с ъглополовящата на правия ъгъл на основата.Околната стена,която минава през единия катет,сключва с основата ъгъл с големина [tex]\beta[/tex].Да се намери обема на пирамидата, ако дължината на ъглополовящата на правия ъгъл на основата е $k$.

[S.B.]

Основата на пирамида е правоъгълен триъгълник с остър ъгъл с големина [tex]\alpha[/tex].Височината на пирамидата минава през пресечната точка на хипотенузата с ъглополовящата на правия ъгъл на основата.Околната стена,която минава през единия катет,сключва с основата ъгъл с големина [tex]\beta[/tex].Да се намери обема на пирамидата, ако дължината на ъглополовящата на правия ъгъл на основата е $k$.

Без заглавие - 2026-03-31T161024.213.png (310.55 KiB) Прегледано 104 пъти

Нека означим пирамидата $MABC$, където $M$ е върхът, а $ABC$ е основата.
[tex]l_{c } \cap AB = L, CL = k, \angle CAB = \alpha < 90 ^\circ , \Rightarrow \angle ABC = 90 ^\circ - \alpha[/tex]
Височината на пирамидата минава през пресечната точка на ъглополовящата и хипотенузата - това означава,че околният ръб $CM$ се проектира върху ъглополовящата на правия ъгъл в основата и следователно двете околни стени $ACM$ и $BCM$ сключват равни двустенни ъгли с основата на пирамидата - в случая ъгли с големина [tex]\beta[/tex].
$$V_{MABC } = \frac{ML. S_{ABC } }{3}$$
Точка $L$ принадлежи на ъглополовящата $CL$, следователно е на равни разстояния от раменете на [tex]\angle ACB[/tex]
[tex]\begin{cases} LL _{1 } \bot CA\\ L L_{2 } \bot CB\\ L \in l_{C } \end{cases}[/tex]
$$\Rightarrow L L_{1 } = L L_{2 }$$
[tex]C L_{1 }L L_{2 }[/tex] е квадрат ( 3 прави ъгъла и равни съседни страни) , $CL = k$ е диагонал
[tex]\Rightarrow L L_{1 } = L L_{2 } = C L_{1 } = C L_{2 } = \frac{k \sqrt{2} }{2}[/tex]

[tex]AC = A L_{1 } + C L_{1 } = A L_{1 } + \frac{k \sqrt{2} }{2}[/tex]
От [tex]\triangle AL L_{1 } \rightarrow \frac{A L_{1 } }{L L_{1 } } = \cotg \alpha \Leftrightarrow A L_{1 } = \frac{k \sqrt{2} }{2}\cotg \alpha[/tex]
[tex]AC = A L_{1 } + CL_{1 } \Leftrightarrow AC= \frac{k \sqrt{2} }{2}\cotg \alpha + \frac{k \sqrt{2} }{2}[/tex]
$$ \Rightarrow AC= \frac{k \sqrt{2} }{2}(\cotg \alpha + 1)$$
От [tex]\triangle BL L_{2 } \rightarrow \frac{ L_{2 }B }{L L_{2 } } = \cotg(90 ^\circ - \alpha) \Leftrightarrow L_{2 }B = \frac{k \sqrt{2} }{2} \tg \alpha[/tex]
[tex]BC = BL_{2 } + CL_{2 } = \frac{k \sqrt{2} }{2}\tg \alpha + \frac{k \sqrt{2} }{2}[/tex]
$$\Rightarrow BC = \frac{k \sqrt{2} }{2}(\tg \alpha + 1)$$
[tex]S_{ABC } = \frac{AC.BC}{2} \Leftrightarrow S_{ABC } = \frac{1}{2}. \frac{2 k^{2 } }{4} (\tg \alpha + 1)(\cotg \alpha +1) \Leftrightarrow S_{ABC }= \frac{ k^{2 } }{4}(1 + \tg \alpha + \cotg \alpha + 1)[/tex]
[tex]S_{ABC } = \frac{ k^{2 } }{4}(2 + \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } + \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha } ) = \frac{ k^{2 } }{4} ( \frac{2\sin \alpha \cos \alpha + \sin^{2 } \alpha + \cos^{2 } \alpha }{\sin \alpha\cos \alpha })[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABC } = \frac{ k^{2 } }{2} ( \frac{\sin 2 \alpha + 1) }{\sin 2 \alpha })$$

В пирамидата отсечката [tex]LL_{2 }[/tex] е проекция на [tex]ML_{2 }[/tex]
[tex]LL_{2 } \bot BC \Rightarrow M L_{2 } \bot BC[/tex] (според теоремата за трите перпендикуляра) [tex]\Rightarrow \angle ML_{2 }L[/tex] е линейният ъгъл на двустенния ъгъл,който стената $BCM$ сключва с основата $ABC$ [tex]\Rightarrow \angle ML_{2 }L = \beta[/tex]
[tex]ML \bot (ABC)[/tex] по условие [tex]\Rightarrow ML \bot L L_{2 }[/tex] (защото [tex]LL_{2 }[/tex] лежи в равнината $ABC$)
От правоъгълния [tex]\triangle ML L_{2 } \rightarrow \frac{ML}{L L_{2 } } = \tg \beta[/tex]
$$\Rightarrow ML = \frac{k \sqrt{2} }{2}\tg \beta$$
[tex]V_{MABC } = \frac{ML. S_{ABC } }{3} \Leftrightarrow V_{MABC } = \frac{1}{3}. \frac{k \sqrt{2} }{2}\tg \beta . \frac{ k^{2 } }{2}( \frac{\sin 2 \alpha + 1 }{\sin 2 \alpha } )[/tex]
$$\Rightarrow V_{MABC } = \frac{ k^{3 } \sqrt{2} }{12} \tg \beta ( \frac{\sin 2 \alpha + 1}{\sin 2 \alpha })$$

[Гост]

Благодаря Ви!