Правоъгълълен триъгълник

[Гост]

Даден е правоъгълен [tex]\triangle ABC[/tex] с хипотенуза $AB = 1$ и [tex]\angle BAC = \alpha[/tex].Вписаната в триъгълника окръжност се допира до страните $AB$ и $AC$ съответно в точките $M$ и $N$.
Да се докаже,че [tex]MN = \sqrt{ \sin^{2 } \alpha - \sin^{3 } \alpha }[/tex].

[Darina73]

Търсим MN .
Решението от компютъра чрез режим с AI дава отговор

MN=sin[tex]\alpha(cos \frac{ \alpha }{2} -sin \frac{ \alpha }{2}[/tex])

MN= sin[tex]\alpha[/tex]([tex]\frac{ \sqrt{2} }{2}.cos \frac{ \alpha }{2} - \frac{ \sqrt{2} }{2} .sin \frac{ \alpha }{2}) \sqrt{2}[/tex] =

=sin[tex]\alpha. sin(45 ^\circ- \frac{ \alpha }{2} ) \sqrt{2}[/tex] =

=[tex]\sqrt{ sin^{2 } \alpha.2 sin^{2 } (45 ^\circ- \frac{ \alpha }{2} )}[/tex]=

=[tex]\sqrt{ sin^{2 } \alpha(1-sin \alpha )}[/tex]=

=[tex]\sqrt{ sin^{2 } \alpha - sin^{3 } \alpha }[/tex]

[S.B.]

Даден е правоъгълен [tex]\triangle ABC[/tex] с хипотенуза $AB = 1$ и [tex]\angle BAC = \alpha[/tex].Вписаната в триъгълника окръжност се допира до страните $AB$ и $AC$ съответно в точките $M$ и $N$.
Да се докаже,че [tex]MN = \sqrt{ \sin^{2 } \alpha - \sin^{3 } \alpha }[/tex].

Без заглавие - 2026-04-08T110456.069.png (264.82 KiB) Прегледано 148 пъти

Въпреки,че сме в прекрасни отношения, аз не съм се консултирала с Al ! Задачата не е особено трудна и е решима със знанията за 10 клас

т.$O$ е център на вписаната окръжност

[tex]\frac{BC}{AB} = \sin \alpha \Leftrightarrow \frac{BC}{1} = \sin \alpha \Rightarrow BC = \sin \alpha[/tex]

[tex]\frac{AC}{AB}= \cos \alpha \Leftrightarrow \frac{AC}{1} = \cos \alpha \Rightarrow AC = \cos \alpha[/tex]

[tex]P_{ABC } = AB + BC + AC \Leftrightarrow P_{ABC } = 1 + \sin \alpha + \cos \alpha[/tex]
Нека $AM = AN = x$

[tex]P_{ABC } = 2BC + 2x \Leftrightarrow 1 + \sin \alpha + \cos \alpha = 2x + 2 \sin \alpha \Leftrightarrow 2x = 1 + \sin \alpha + \cos \alpha - 2\sin \alpha[/tex]
$$\Rightarrow x = \frac{1 + \cos \alpha - \sin \alpha }{2}$$
[tex]\triangle AMN[/tex] е равнобедрен , $AO$ е ъглополовяща, [tex]\Rightarrow AO \bot MN, AO \cap MN = P , MP = NP[/tex]

От [tex]\triangle AMP \rightarrow \frac{MP}{AM} = \sin \frac{ \alpha }{2} \Leftrightarrow MP = AM.\sin \frac{ \alpha }{2} \Leftrightarrow \frac{MN}{2} = x.\sin \frac{ \alpha }{2} \Leftrightarrow \frac{MN}{2} = \frac{1 + \cos \alpha - \sin \alpha }{2} .\sin \frac{ \alpha }{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow MN = (1 +\cos \alpha - \sin \alpha ).\sin \frac{ \alpha }{2} \Leftrightarrow MN = (2 \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} - 2\sin \frac{ \alpha }{2}.\cos \frac{ \alpha }{2} ).\sin \frac{ \alpha }{2} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]MN = (\cos \frac{ \alpha }{2} - \sin \frac{ \alpha }{2} ).2\sin \frac{ \alpha }{2}\cos \frac{ \alpha }{2}[/tex]
$$\Rightarrow MN = \sin \alpha (\cos \frac{ \alpha }{2} - \sin \frac{ \alpha }{2}) $$
[tex]MN^{2 } = \sin^{2 } \alpha ( \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} - \sin^{2 } \frac{ \alpha }{2}) ^{2 } \Leftrightarrow MN^{2 } = \sin^{2 } \alpha ( \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} - 2.\sin \frac{ \alpha }{2}.\cos \frac{ \alpha }{2} + \sin^{2 } \frac{ \alpha }{2})[/tex]
[tex]\Leftrightarrow MN^{2 }= \sin^{2 } \alpha (1 -\sin \alpha ) \Rightarrow MN^{2 } = \sin^{2 } \alpha - \sin^{3 } \alpha[/tex]
$$\Rightarrow MN = \sqrt{ \sin^{2 } \alpha - \sin^{3 } \alpha }$$

[S.B.]

[tex]MN^{2 } = \sin^{2 } \alpha ( \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} - \sin^{2 } \frac{ \alpha }{2}) ^{2 } \Leftrightarrow ...[/tex]

Допуснала съм грешка при преписването от черновата.Да се чете:
[tex]MN^{2 } = \sin^{2 } \alpha (\cos \frac{ \alpha }{2} - \sin \frac{ \alpha }{2}) ^{2 } \Leftrightarrow ...[/tex]

[Darina73]

Хрумна ми още една идея .
Построяваме квадрата OFCN със страна равна на r .
[tex]S_{AMON } +S_{MBFO } +S_{OFCN } =S_{ABC }[/tex]

[tex]\frac{MN.AO}{2} +2 S_{MBO } + r^{2 } = \frac{AC.BC}{2}[/tex]

Скрит текст: покажи

Намираме MB=FB=BC-CF=sin[tex]\alpha[/tex]-r ; От правоъг.[tex]\triangle[/tex]MOP намираме r=[tex]\frac{MN}{2cos \frac{ \alpha }{2} }[/tex]

[tex]\frac{MN. \frac{r}{sin \frac{ \alpha }{2} } }{2} +2 \frac{r(sin \alpha-r) }{2} +\frac{2 r^{2 } }{2}= \frac{cos \alpha.sin \alpha }{2}[/tex]

[tex]\frac{MNr}{sin \frac{ \alpha }{2} } +2r.sin \alpha -2 r^{2 } +2r^{2 } =sin \alpha.cos \alpha[/tex]

[tex]\frac{ MN^{2 } }{2sin \frac{ \alpha }{2} .cos \frac{ \alpha }{2} } + \frac{2MN.sin \alpha }{2cos \frac{ \alpha }{2} } -sin \alpha .cos\alpha[/tex]=0

[tex]\frac{ MN^{2 } }{sin \alpha } +\frac{2MN.sin \alpha .sin \frac{ \alpha }{2} }{sin \alpha } -\frac{ sin^{2 } \alpha .cos \alpha }{sin \alpha }[/tex]=0

[tex]MN^{2 }[/tex]+2(sin[tex]\alpha .sin \frac{ \alpha }{2} )MN - sin^{2 } \alpha.cos \alpha[/tex]=0

D=[tex]sin^{2 } \alpha.sin ^{2 } \frac{ \alpha }{2} +sin^{2 } \alpha.cos \alpha[/tex] =[tex]sin^{2 } \alpha ( sin^{2 } \frac{ \alpha }{2} + cos^{2 } \frac{ \alpha }{2}+ cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} -1) = sin^{2 } \alpha .cos ^{2 } \frac{ \alpha }{2}[/tex] >0

[tex]MN_{1,2 } = \frac{- sin \alpha.sin \frac{ \alpha }{2} \pm sin \alpha .cos \frac{ \alpha }{2} }{1}[/tex]

[tex]MN_{1 }[/tex]=sin[tex]\alpha .cos \frac{ \alpha }{2}-sin \alpha.sin \frac{ \alpha }{2}[/tex]

[tex]MN_{2 } = -(sin \alpha.sin \frac{ \alpha }{2} +sin \alpha .cos \frac{ \alpha }{2}[/tex])
Според допустимите стойности на [tex]\alpha[/tex] [tex]MN_{2 }[/tex]<0 и отпада .

MN=sin[tex]\alpha[/tex](cos[tex]\frac{ \alpha }{2}-sin \frac{ \alpha }{2}[/tex])= [tex]\sqrt{ sin^{2 } \alpha (cos ^{2 } \frac{ \alpha }{2} + sin^{2 } \frac{ \alpha }{2} -2sin \frac{ \alpha }{2}.cos \frac{ \alpha }{2}) }[/tex]= [tex]\sqrt{ sin^{2 } \alpha(1-sin \alpha) } =\sqrt{ sin^{2 } \alpha -sin^{3 } \alpha }[/tex]