Четириъгълник

[Darina73]

В окръжност е вписан четириъгълник ABCD ,като AB=8 ,BC=6 ,AD=CD=4 .
Намерете радиуса на окръжността .

[Davids]

image.png (25.9 KiB) Прегледано 130 пъти

Нека диагоналът $AC =: d$. Тогава по косинусова теорема за $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ съответно имаме равенствата:
$d^2 = 8^2 + 6^2 - 2.8.6\cos\beta = 4^2 + 4^2 - 2.4.4\cos(\pi-\beta)$
$100 -96\cos\beta = 32 + 32\cos\beta$
$\cos\beta = \frac{17}{32}$
$\Rightarrow \sin\beta = \frac{7}{32}\sqrt{15}$ и $d = 7$ като заместим в кое да е от уравненията.

Сега по синусова теорема за $\triangle ABC$ имаме че:
$\frac{d}{\sin\beta} = 2R$
$\Rightarrow R = \frac{d}{2\sin\beta} = \frac{16}{15}\sqrt{15}$

[Darina73]

Скрит текст: покажи

Не мога да си обясня как компютърът решава задачите за секунди .
Реших да потърся по-късо и елегантно решение от нас -човеците .

Нека правите AD и BC се пресичат в т.N и DN=x ,CN=y .
[tex]\triangle[/tex]DCN[tex]\approx \triangle[/tex]BAN по 1 признак
[tex]\frac{CN}{AN}= \frac{DC}{AB} ; \frac{y}{x+4} =\frac{4}{8}[/tex] ;8y-4x=16 (1)

Равните хорди AD и CD отсичат равни дъги [tex]\Rightarrow[/tex] вписаните [tex]\angle[/tex]ABD и [tex]\angle[/tex]CBD са равни
т.е. BD се явява ъглополовяща в [tex]\triangle[/tex]ABN
Тогава прилагаме формулата [tex]BD^{2 }[/tex] =AB.NB-AD.ND
[tex]BD^{2 }[/tex] =8(y+6)-4x
[tex]BD^{2 }[/tex] =(8y-4x) +48 (ползваме (1)) [tex]BD^{2 }[/tex]=64 ; BD=8
Търсеният радиус е радиус на описаната окръжност около равнобедрения [tex]\triangle[/tex]ABD със страни 8 ,8 ,4
[tex]\frac{AD.BH}{2} =S_{ABD } =\frac{AB.DB.AD}{4R}[/tex]

[tex]\frac{4 \sqrt{64-4} }{2}= \frac{8.8.4}{4R}[/tex] ; R=[tex]\frac{16}{15} \sqrt{15}[/tex]