Четириъгълник

[Darina73]

В окръжност е вписан четириъгълник ABCD ,като AB=8 ,BC=6 ,AD=CD=4 .
Намерете радиуса на окръжността .

[Davids]

image.png (25.9 KiB) Прегледано 14 пъти

Нека диагоналът $AC =: d$. Тогава по косинусова теорема за $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ съответно имаме равенствата:
$d^2 = 8^2 + 6^2 - 2.8.6\cos\beta = 4^2 + 4^2 - 2.4.4\cos(\pi-\beta)$
$100 -96\cos\beta = 32 + 32\cos\beta$
$\cos\beta = \frac{17}{32}$
$\Rightarrow \sin\beta = \frac{7}{32}\sqrt{15}$ и $d = 7$ като заместим в кое да е от уравненията.

Сега по синусова теорема за $\triangle ABC$ имаме че:
$\frac{d}{\sin\beta} = 2R$
$\Rightarrow R = \frac{d}{2\sin\beta} = \frac{16}{15}\sqrt{15}$