Зад. от СУ-2026

[Гост]

Може ли някой да помогне за решаването на Зад. 8 от теста по математика в Софийски университет от тази година. Аз я решавам с вектори, но дъщерята не може да я разбере и затова ще помоля някой да помогне и да я реши със стереометрия.
Условието е:
Основният ръб на правилна четириъгълна призма ABCDA1B1C1D1 е равен на корен квадратен от 8, а околният ѝ ръб е равен на корен квадратен от 28. Да се намери синусът на ъгъла между правата D1C и равнината ABC1D1.

[S.B.]

Може ли някой да помогне за решаването на Зад. 8 от теста по математика в Софийски университет от тази година. Аз я решавам с вектори, но дъщерята не може да я разбере и затова ще помоля някой да помогне и да я реши със стереометрия.
Условието е:
Основният ръб на правилна четириъгълна призма ABCDA1B1C1D1 е равен на корен квадратен от 8, а околният ѝ ръб е равен на корен квадратен от 28. Да се намери синусът на ъгъла между правата D1C и равнината ABC1D1.

Без заглавие - 2026-06-23T165535.659.png (250.67 KiB) Прегледано 17 пъти

Ъгъла който се търси е между [tex]CD_{1 }[/tex] и проекцията му в равнината [tex]AB C_{1 } D_{1 }[/tex] Това е [tex]\angle C D_{1 }A[/tex]
[tex]CP \bot AB C_{1 } D_{1 } , P \in A D_{1 }[/tex] защото $CP$ се явява височина през т.$C$ в равнобедрения [tex]\triangle AC D_{1 }[/tex]
Нека [tex]\angle C D_{1 }A = \varphi[/tex]
От стената [tex]AD D_{1 } A_{1 }[/tex] с Питагорова теорема намирам,че :
[tex]AD_{1 } = \sqrt{ AD^{2 }+ A A_{1 } ^{2 } } \Leftrightarrow A D_{1 } = \sqrt{8 + 28} = \sqrt{36}[/tex]
$$\Rightarrow A D_{1 } = C D_{1 } = 6$$
От основата $ABCD$ с Питагорова теорема намирам че :
[tex]AC = \sqrt{ AB^{2 } + BC^{2 } } \Leftrightarrow AC = \sqrt{16}[/tex]
$$\Rightarrow AC = 4$$

За да намеря [tex]\cos \varphi[/tex] за [tex]\triangle AC D_{1 }[/tex] прилагам Косинусова теорема:

[tex]\cos \varphi = \frac{ AC^{2 } - A D_{1 } ^{2 } - C D_{1 } ^{2 } }{-2.A D_{1 }.C D_{1 } } = \frac{16 - 72}{-72}= \frac{-56}{-72}[/tex]
$$\Rightarrow \cos \varphi = \frac{7}{9}$$
[tex]\sin \varphi = \sqrt{1 - \cos^{2 } \varphi } \Leftrightarrow \sin \varphi = \sqrt{1 - \frac{49}{81} } = \sqrt{ \frac{32}{81} }[/tex]
$$\Rightarrow \sin \varphi = \frac{4 \sqrt{2} }{9} $$