Ирационално уравнение

[Darina73]

Конкурсен изпит за ВВВУ "Г. Бенковски" -Долна Митрополия ,1993 г.

[tex]\sqrt{ x^{2 } +х-16}[/tex] - [tex]\sqrt{ x^{2 } +x-20}[/tex]= 2

[S.B.]

Конкурсен изпит за ВВВУ "Г. Бенковски" -Долна Митрополия ,1993 г.

[tex]\sqrt{ x^{2 } +х-16}[/tex] - [tex]\sqrt{ x^{2 } +x-20}[/tex]= 2

$$\sqrt{ x^{2 } + x - 16} - \sqrt{ x^{2 } + x - 20 } = 2$$

Допустими стойности за $x$:

[tex]x^{2 } + x - 16 \ge 0 \Leftrightarrow (x - \frac{-1 - \sqrt{65} }{2})(x - \frac{-1 + \sqrt{65} }{2}) \ge 0[/tex]

[tex]\frac{-1 - \sqrt{65} }{2} \approx - 4,53 ; \frac{-1 + \sqrt{65} }{2} \approx 3,53[/tex]

[tex]\Rightarrow x^{2 } + x -16 \ge 0 \Leftrightarrow (x + 4,53)(x - 3,53) \ge 0 \Rightarrow x \in (- \infty , -4,53 ] \cup [3,53; + \infty )[/tex]

[tex]x^{2 } + x -20 \ge 0 \Leftrightarrow (x + 5)(x - 4) \ge 0 \Rightarrow x \in (- \infty;-5] \cup [4 ; + \infty)[/tex]




[tex]\begin{cases} x \in (- \infty ; -5] \cup [4 ; + \infty )\\ x \in (- \infty ; - 4,53] \cup [3,53 ; + \infty )\end{cases} \Rightarrow x \in (- \infty; -5] \cup [4;+ \infty )[/tex]

Допустими стойности за $x$ ([tex]DM_{x }[/tex]):
$$x \in (- \infty ; -5) \cup (4 ; + \infty )$$

Нека [tex]x^{2 } +x - 16 = t \ge 0\Rightarrow x^{2 } +x -20 = t - 4 \ge 0[/tex]

[tex]\sqrt{ x^{2 } + x - 16 } - \sqrt{ x^{2 } +x -20} = 2 \Leftrightarrow \sqrt{t} - \sqrt{t -4} = 2[/tex]

Допустими стойности за $t$ ([tex]DM_{t }[/tex])
$$t \in [4 ; + \infty )$$

[tex]\sqrt{t} - \sqrt{t - 4} = 2 \Leftrightarrow \sqrt{t} - 2 = \sqrt{t - 4}[/tex]

[tex]( \sqrt{t} - 2) ^{2 } = ( \sqrt{t - 4} )^{2 } \Leftrightarrow t - 4 \sqrt{t} + 4 = t - 4 \Leftrightarrow -4 \sqrt{t} = -8 \Leftrightarrow \sqrt{t} = 2 \Rightarrow t = 4 \in DM_{t }[/tex]

[tex]x^{2 } + x - 16 = t \Leftrightarrow x^{2 } + x - 16 = 4 \Leftrightarrow x^{2 } + x -20 = 0 , D = 81 , x_{1,2 } = \frac{-1 \pm 9 }{2}[/tex]
$$x_{1 } = -5 ; x_{2 } = 4 , x_{1,2 } \in DM_{x } $$

Проверка:
$x = -5$
[tex]\sqrt{25 -5 -16} - \sqrt{25 -5 -20 } = \sqrt{20 - 16} = \sqrt{4} = 2[/tex]

$x = 4$
[tex]\sqrt{16 +4 - 16} - \sqrt{16 +4 -20 } = \sqrt{20 - 16} = \sqrt{4} = 2[/tex]