Параметрично уравнение

[Гост]

Дадено е уравнението:
[tex]3 x^{2 } - (6a + 1)x + a^{2 } + 6a -3 = 0[/tex] , където $a$ е раеален параметър.

Да се докаже ,че [tex]\sqrt{2}[/tex] не е корен на уравнението и да се намерят стойностите на $a$ ,за които уравнението има реален корен $u$ ,такъв ,че стойността на [tex]|u - \sqrt{2} |[/tex] е най-малка.

[ammornil]

Дадено е уравнението:
[tex]3 x^{2 } - (6a + 1)x + a^{2 } + 6a -3 = 0[/tex] , където $a$ е раеален параметър.

Да се докаже ,че [tex]\sqrt{2}[/tex] не е корен на уравнението и да се намерят стойностите на $a$ ,за които уравнението има реален корен $u$ ,такъв ,че стойността на [tex]|u - \sqrt{2} |[/tex] е най-малка.

$3x^{2} -(6a +1)x +a^{2} +6a -3= 0, \quad a\in\mathbb{R} \\[12pt] $Ако $\sqrt{2}$ е корен, то $\exists{a}\in\mathbb{R}: \quad 3\left(\sqrt{2} \right)^{2} -6\sqrt{2}a -\sqrt{2} +a^{2} +6a -3 =0 \quad \Leftrightarrow \\[6pt] a^{2} -6(\sqrt{2} -1)a +3 -\sqrt{2}= 0 \quad \Rightarrow \\[6pt] \quad D_{a}= 36(2 -2\sqrt{2} +1) -12 +4\sqrt{2}= 96 -68\sqrt{2} <0 \\[6pt] \Rightarrow \nexists{a}\in\mathbb{R} \Rightarrow \sqrt{2}$ не е корен.$\\[6pt]$

Скрит текст: покажи

Твърдението за $\sqrt{2}$ може да се докаже и като разгледаме за кои стойности на $x, a$ е реално число (разглеждаме даденото уравнение с $a$ като неизвестно и $x$ като параметър) $\\[6pt] a^{2} -(6x-6)a +3x^{2} -x -3= 0 \\[6pt] D_{a}= 36x^{2} -72x +36 -12x^{2} +4x +12 = 24x^{2} -68x +48= 4(6x^{2} -17x +12) =0 \geq{0} \\[6pt]6x^{2} -17x +12 \geq{0} \Rightarrow x_{1,2}=\dfrac{17\pm\sqrt{289 -288}}{12}= \dfrac{17\pm{1}}{12} \\[6pt] 4(6x^{2} -17x +12)= 24\left(x-\dfrac{4}{3} \right)\left(x- \dfrac{3}{2} \right) \geq{0} \Rightarrow \text{Д}x: x \in{}\left(-\infty;\dfrac{4}{3}\right] \cup \left[\dfrac{3}{2};\infty\right) \rightarrow \sqrt{2} \notin{}\text{Д}x$

$\\[12pt]$В срития текст показах, че $x \in{}\left(-\infty;\dfrac{4}{3}\right] \cup \left[\dfrac{3}{2};\infty\right)$, и $\sqrt{2}$ е между вътрешните граници на интервала, следователно една от тези гранични стойности удовелетворява желаното условие $\begin{vmatrix} u-\sqrt{2} \end{vmatrix}_{min}\\[12pt]$ Оставям на Вас да определите коя.

[S.B.]

Дадено е уравнението: първото
[tex]3 x^{2 } - (6a + 1)x + a^{2 } + 6a -3 = 0[/tex] , където $a$ е раеален параметър.

Да се докаже ,че [tex]\sqrt{2}[/tex] не е корен на уравнението и да се намерят стойностите на $a$ ,за които уравнението има реален корен $u$ ,такъв ,че стойността на [tex]|u - \sqrt{2} |[/tex] е най-малка.

Още един поглед върху задачата:

За да докажа,че [tex]\sqrt{2}[/tex] не е корен на уравнението,аз ще преработя даденото уравнение така,че да получа еквивалентно на него с аргумент $a$:
[tex]3 x^{2 } - (6a + 1)x + a^{2 }+ 6a -3 = 0 \Leftrightarrow a^{2 } - 6(x-1)a + 3 x^{2 } -x-3 = 0[/tex]
Двете уравнения са еквивалентни [tex]\Rightarrow[/tex] корените на второто уравнение са и корени на първото.
По условие $a$ е реално число [tex]\Rightarrow[/tex] дискриминантата на новото уравнение [tex]D \ge 0[/tex]:

[tex]D = 35 (x-1)^{2 } - 4(3 x^{2 } -x-3) \ge 0 \Leftrightarrow 36( x^{2 } -2x + 1) - 12 x^{2 } + 4x + 12 \ge 0 \Leftrightarrow 6 x^{2 } - 17x + 12 \ge 0[/tex]
[tex]6x^{2 } - 17x +12 = 6(x - \frac{3}{2})(x - \frac{4}{3}) \ge 0 \Leftrightarrow ( x - \frac{3}{2})(x - \frac{4}{3 }) \ge 0[/tex]
Решавам това неравенство по метода на интервалите и получавам:
$$x \in (- \infty; \frac{4}{3} ] \cup [ \frac{3}{2} ; + \infty )$$
[tex]\frac{4}{3} = 1,33 , \sqrt{2} = 1,41 , \frac{3}{2} = 1,5 \Rightarrow \sqrt{2} \in ( \frac{4}{3} , \frac{3}{2})[/tex] където [tex]D<0, \Rightarrow \sqrt{2}[/tex] не е корен на уравнението.

Търсим стойности за $a$ ,за които съществува рален корен $u$ , такъв,че [tex]|u - \sqrt{2}|[/tex] е най- малка:

[tex]\sqrt{2} \in ( \frac{4}{3} , \frac{3}{2} ) \Rightarrow u[/tex] ще бъде една от двете стойностти на двата края на интервала ,които са най-близки до [tex]\sqrt{2}[/tex]

[tex]| \frac{4}{3} - \sqrt{2}| = |1,33 - 1,41| = |- 0,08| = 0,08[/tex]

[tex]| \frac{3}{2} - \sqrt{2}| = | 1,5 - 1,41| = |0,09| = 0,09[/tex]

[tex]\Rightarrow | \frac{4}{3} - \sqrt{2}| < | \frac{3}{2} - \sqrt{2|} \Rightarrow u = \frac{4}{3}[/tex]

Замествам в еквивалентното на условието уравнение и получавам:
[tex]a^{2 } + 6(1-x) a + 3 x^{2 } - x - 3 = 0 \Leftrightarrow a^{2 } + 6(1 - \frac{4}{3})a + 3. \frac{16}{9} - \frac{4}{3} - 3 = 0 \Leftrightarrow a^{2 } - 2a + 1=0 \Leftrightarrow[/tex]
$$ (a-1)^{2 } = 0 \Rightarrow a =1$$
Търсената стойност за параметъра $a$ е $a=1$