Триъгълна пирамида

[S.B.]

Основата на пирамидата $ABCM$ е правоъгълен [tex]\triangle ABC , \angle C = 90 ^\circ ,AC = 21,BC = 28[/tex]
Околните стени минаващи през катетите сключват с равнината на основата равни ъгли с големина [tex]45^\circ[/tex],а третата околна стена е перпендикулярна на равнината на основата.Да се намери радиусът на вписаната в пирамидата сфера.

[ammornil]

Screenshot 2026-08-28 204041.png (78.3 KiB) Прегледано 118 пъти

$\\[24pt]$Решението ми не е достатъчно подробно за пълен брой точки на изпит, но идеята ми е, че $V_{\text{пирамида}}=\dfrac{1}{3}\cdot{R}\cdot{S_{1\text{пирамида}}}$, където: $R$ е радиусът на вписаната в пирамидата сфера, а $S_{1}$ е лицето на пълната повърхнина на пирамидата, следователно радиусът на вписаната сфера е $$ R_{\text{вписана сфера}}=\dfrac{3\cdot{V_{\text{пирамида}}}}{S_{1\text{пирамида}}} $$ Тази формула се доказва лесно: ако свържете центъра на вписаната сфера с всички върхове на пирамидата, получавате четири малки пирамиди. Понеже сферата е вписана, радиусът перпендикулярен на коя да е стена на пирамидата е височина на тази малка пирамида. Обемът на всяка така получена малка пирамида е една трета лицето на стената по радиуса на вписаната сфера, а като съберем обемите на тези пирамиди получаваме целия обем на дадената пирамида. По същия начин може да се докаже връзката между обем, пълна повърхнина и радиус на вписана сфера за всяко ръбесто тяло в което може да се впише сфера. $\\[24pt]ABCM, M\notin{p(ABC)}\\ ABC: \quad \angle{ABC}=90^{\circ}, AC=21, BC=28\\ \angle{\left(p(ACM), p(ABC) \right)}=\angle{\left(p(BCM), p(ABC) \right)}=45^{\circ}, \quad \angle{\left(p(ABM), p(ABC) \right)}= 90^{\circ} \\[6pt] P\in{BC} \rightarrow MP\bot{BC}, \quad Q\in{AC} \rightarrow MQ\bot{AC}\\ \begin{cases} P\in{a}, a\in{p(ABC)}, a\bot{BC} \\ Q\in{b}, b\in{p(ABC)}, b\bot{AC}\end{cases} \Rightarrow a\cap{b}=K, K\in{AB} \Rightarrow MK\bot{p(ABC)}$ $$ \boxed{ \quad MK=h_{\text{пирамида}}=x \quad } $$ $\\[6pt] \begin{cases} MP\bot{BC} \\ KP\bot{BC} \end{cases} \Rightarrow \angle{MPK}= 45^{\circ} =\angle{\left(p(BCM), p(ABC) \right)} \\ \text{Аналогично}: \angle{MQK}= 45^{\circ} =\angle{\left(p(ACM), p(ABC) \right)} \\[6pt] \triangle{MKP}\cong \triangle{MKQ}$ правоъгълни, равнобедрени и имат един общ катет $\\ \Rightarrow $ $$ \boxed{ \quad PK=QK=KM= x \quad } $$ $\\[6pt]\triangle{ABC},\quad \angle{ACB}= 90^{\circ} \Rightarrow AB^{2}= AC^{2} +BC^{2} \Rightarrow AB= \sqrt{21^{2} +28^{2}}= 35 \\[6pt] \angle{CAB}= \alpha, \quad \tg{\alpha}= \dfrac{AC}{BC}= \dfrac{21}{28} = \dfrac{3}{4} \\[6pt] QCPK$ е квадрат по построение. $\Rightarrow QC=x \\[6pt] \triangle{KQA}, \angle{KQA}=90^{\circ} \Rightarrow AQ= KQ\cdot{\tg{\alpha}}= \dfrac{3x}{4} \\[6pt] AC= AQ +QC =21 \Rightarrow \dfrac{3x}{4} +x =21 \Rightarrow$ $$ \boxed{ \quad x=12 \quad } $$ $MP= MQ= x\sqrt{2}= 12\sqrt{2} \\[6pt] B= S_{ABC}= \dfrac{1}{2}\cdot{AC}\cdot{BC}= 294 \\[6pt] S_{BCM}= \dfrac{1}{2}\cdot{BC}\cdot{MP}= 168\sqrt{2} \\[6pt] S_{ACM}= \dfrac{1}{2}\cdot{AC}\cdot{MQ}= 126\sqrt{2} \\[6pt] S_{ABM}= \dfrac{1}{2}\cdot{AB}\cdot{MK}= 210 \\[6pt] S_{1}= B +S_{BCM} +S_{ACM} +S_{ABM}= 294 +168\sqrt{2} +126\sqrt{2} +210= 504 +294\sqrt{2}= 42(12 +7\sqrt{2}) \\[6pt] V_{\text{пирамида}}= \dfrac{1}{3}\cdot{B}\cdot{h}= \dfrac{1}{3}\cdot{294}\cdot{12}= 1176\\[12pt] R_{\text{вписана сфера}}=\dfrac{3\cdot{V_{\text{пирамида}}}}{S_{1\text{пирамида}}} =\dfrac{3\cdot{1176}}{42(12 +7\sqrt{2})}\\[6pt] R_{\text{вписана сфера}}= \dfrac{84}{12 +7\sqrt{2}}\cdot{\dfrac{12 -7\sqrt{2}}{12 -7\sqrt{2}}}= \dfrac{84(12 -7\sqrt{2})}{144-98}= \dfrac{84(12 -7\sqrt{2})}{46} \\[6pt]$ $$ \boxed{ \quad R_{\text{вписана сфера}}= \dfrac{42(12 -7\sqrt{2})}{23} \quad }$$

[ammornil]

Една грешка горе, не се ползва тангенса а котангенса на $\alpha \\[12pt] \\ \vdots \\ \dots \cotg{\alpha}=\dfrac{AC}{BC}= \dfrac{3}{4} \\ \vdots \\ \dots AQ= KQ\cdot{\cotg{\alpha}}= \dfrac{3x}{4}\\ $Моля да ме извините за неточността.

[S.B.]

Основата на пирамидата $ABCM$ е правоъгълен [tex]\triangle ABC , \angle C = 90 ^\circ ,AC = 21,BC = 28[/tex]
Околните стени минаващи през катетите сключват с равнината на основата равни ъгли с големина [tex]45^\circ[/tex],а третата околна стена е перпендикулярна на равнината на основата.Да се намери радиусът на вписаната в пирамидата сфера.

Без заглавие - 2026-08-29T105709.470.png (386.42 KiB) Прегледано 81 пъти

Благодаря на колегата за интересното решение !
Аз ще представя и моят поглед върху задачата.
За да намеря радиуса на вписаната сфера ще използвам известната формула:
$$r = \frac{3V}{ S_{пълна } } $$
Двете околни стени $ACM$ и $BCM$ сключват с равнината на основата равни ъгли [tex]\Rightarrow[/tex] тяхната пресечница $MC$ се проектира в основата $ABC$ върху ъглополовящата на [tex]\angle ACB[/tex]
Околната стена $ABM$ е перпендикулярна на основата
[tex]\Rightarrow[/tex] Върхът на пирамидата $M$ се проектира в т.$H$ - пресечната точка на ъглополовящата на правия ъгъл и хипотенузата на [tex]\triangle ABC[/tex]
[tex]HP \bot AC , HQ \bot BC, HQ = HP[/tex] (разстоянията от т.$H$ до раменете на [tex]\angle ACB[/tex] са равни,защото $H$ принадлежи на ъглополовящата) , [tex]\triangle MHP[/tex] [tex]\cong[/tex] [tex]\triangle MHQ[/tex] са равнобедрени ,правоъгълни [tex]\Rightarrow PH = QH = MH[/tex]
За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Питагорова теорема и намирам $AB = 35$
Нека $AH = x , BH = 35 - x$
Прилагам свойството на ъглополовящата:
[tex]\frac{AC}{BC} = \frac{AH}{BH} \Leftrightarrow \frac{21}{28} = \frac{x}{35 - x} \Rightarrow x = 15[/tex]
$$\Rightarrow AH = 15, BH = 20$$

Нека [tex]\angle ABC = \beta[/tex]
[tex]\frac{AC}{AB} = \sin \beta \Leftrightarrow \frac{21}{35} = \sin \beta \Leftrightarrow \sin \beta = \frac{3}{5}[/tex]
От [tex]\triangle HBQ : \sin \beta = \frac{QH}{BH} \Leftrightarrow \frac{QH}{20} = \frac{3}{5} \Rightarrow QH = 12[/tex]
$$QH = MH \Rightarrow MH = 12$$
[tex]V_{ABCM } = \frac{1}{3} . S_{ABC }.MH \Leftrightarrow V_{ABCM } = \frac{1}{3}. \frac{21.28}{2}.12[/tex]
$$\Rightarrow V_{ABCM } = 1176 $$
От [tex]\triangle MHP[/tex] в призмата намирам [tex]MP = 12 \sqrt{2} ,MP = MQ \Rightarrow MQ = 12 \sqrt{x}[/tex]
За околната повърхнина получавам:
[tex]S_{ок } = \frac{AC.MP + BC.MQ + AB.MH}{2} = \frac{21.12 \sqrt{2} + 28.12 \sqrt{2} + 35.12}{2} = 42(7 \sqrt{2} + 5)[/tex]
[tex]S_{ABC } = \frac{AC.BC}{2} = \frac{21.28}{2} = 294[/tex]
[tex]S_{пълна } = 42(7 \sqrt{2} + 5) + 294[/tex]
$$S_{пълна } = 42(7 \sqrt{2} + 12) $$
[tex]r = \frac{3.V}{ S_{пълна } } \Leftrightarrow r = \frac{3.1176}{42(7 \sqrt{2} + 12)} \Leftrightarrow r = \frac{3.28}{7 \sqrt{2} + 12} \Leftrightarrow r = \frac{84(12 -7 \sqrt{2}) }{(12 + 7 \sqrt{2})(12 - 7 \sqrt{2}) } = \frac{84(12 - 7 \sqrt{2} )}{46}[/tex]
$$\Rightarrow r = \frac{42(12 - 7 \sqrt{2} )}{23} $$