Триъгълна пирамида

[S.B.]

Основата на пирамидата $ABCM$ е правоъгълен [tex]\triangle ABC , \angle C = 90 ^\circ ,AC = 21,BC = 28[/tex]
Околните стени минаващи през катетите сключват с равнината на основата равни ъгли с големина [tex]45^\circ[/tex],а третата околна стена е перпендикулярна на равнината на основата.Да се намери радиусът на вписаната в пирамидата сфера.

[ammornil]

Screenshot 2026-08-28 204041.png (78.3 KiB) Прегледано 15 пъти

$\\[24pt]$Решението ми не е достатъчно подробно за пълен брой точки на изпит, но идеята ми е, че $V_{\text{пирамида}}=\dfrac{1}{3}\cdot{R}\cdot{S_{1\text{пирамида}}}$, където: $R$ е радиусът на вписаната в пирамидата сфера, а $S_{1}$ е лицето на пълната повърхнина на пирамидата, следователно радиусът на вписаната сфера е $$ R_{\text{вписана сфера}}=\dfrac{3\cdot{V_{\text{пирамида}}}}{S_{1\text{пирамида}}} $$ Тази формула се доказва лесно: ако свържете центъра на вписаната сфера с всички върхове на пирамидата, получавате четири малки пирамиди. Понеже сферата е вписана, радиусът перпендикулярен на коя да е стена на пирамидата е височина на тази малка пирамида. Обемът на всяка така получена малка пирамида е една трета лицето на стената по радиуса на вписаната сфера, а като съберем обемите на тези пирамиди получаваме целия обем на дадената пирамида. По същия начин може да се докаже връзката между обем, пълна повърхнина и радиус на вписана сфера за всяко ръбесто тяло в което може да се впише сфера. $\\[24pt]ABCM, M\notin{p(ABC)}\\ ABC: \quad \angle{ABC}=90^{\circ}, AC=21, BC=28\\ \angle{\left(p(ACM), p(ABC) \right)}=\angle{\left(p(BCM), p(ABC) \right)}=45^{\circ}, \quad \angle{\left(p(ABM), p(ABC) \right)}= 90^{\circ} \\[6pt] P\in{BC} \rightarrow MP\bot{BC}, \quad Q\in{AC} \rightarrow MQ\bot{AC}\\ \begin{cases} P\in{a}, a\in{p(ABC)}, a\bot{BC} \\ Q\in{b}, b\in{p(ABC)}, b\bot{AC}\end{cases} \Rightarrow a\cap{b}=K, K\in{AB} \Rightarrow MK\bot{p(ABC)}$ $$ \boxed{ \quad MK=h_{\text{пирамида}}=x \quad } $$ $\\[6pt] \begin{cases} MP\bot{BC} \\ KP\bot{BC} \end{cases} \Rightarrow \angle{MPK}= 45^{\circ} =\angle{\left(p(BCM), p(ABC) \right)} \\ \text{Аналогично}: \angle{MQK}= 45^{\circ} =\angle{\left(p(ACM), p(ABC) \right)} \\[6pt] \triangle{MKP}\cong \triangle{MKQ}$ правоъгълни, равнобедрени и имат един общ катет $\\ \Rightarrow $ $$ \boxed{ \quad PK=QK=KM= x \quad } $$ $\\[6pt]\triangle{ABC},\quad \angle{ACB}= 90^{\circ} \Rightarrow AB^{2}= AC^{2} +BC^{2} \Rightarrow AB= \sqrt{21^{2} +28^{2}}= 35 \\[6pt] \angle{CAB}= \alpha, \quad \tg{\alpha}= \dfrac{AC}{BC}= \dfrac{21}{28} = \dfrac{3}{4} \\[6pt] QCPK$ е квадрат по построение. $\Rightarrow QC=x \\[6pt] \triangle{KQA}, \angle{KQA}=90^{\circ} \Rightarrow AQ= KQ\cdot{\tg{\alpha}}= \dfrac{3x}{4} \\[6pt] AC= AQ +QC =21 \Rightarrow \dfrac{3x}{4} +x =21 \Rightarrow$ $$ \boxed{ \quad x=12 \quad } $$ $MP= MQ= x\sqrt{2}= 12\sqrt{2} \\[6pt] B= S_{ABC}= \dfrac{1}{2}\cdot{AC}\cdot{BC}= 294 \\[6pt] S_{BCM}= \dfrac{1}{2}\cdot{BC}\cdot{MP}= 168\sqrt{2} \\[6pt] S_{ACM}= \dfrac{1}{2}\cdot{AC}\cdot{MQ}= 126\sqrt{2} \\[6pt] S_{ABM}= \dfrac{1}{2}\cdot{AB}\cdot{MK}= 210 \\[6pt] S_{1}= B +S_{BCM} +S_{ACM} +S_{ABM}= 294 +168\sqrt{2} +126\sqrt{2} +210= 504 +294\sqrt{2}= 42(12 +7\sqrt{2}) \\[6pt] V_{\text{пирамида}}= \dfrac{1}{3}\cdot{B}\cdot{h}= \dfrac{1}{3}\cdot{294}\cdot{12}= 1176\\[12pt] R_{\text{вписана сфера}}=\dfrac{3\cdot{V_{\text{пирамида}}}}{S_{1\text{пирамида}}} =\dfrac{3\cdot{1176}}{42(12 +7\sqrt{2})}\\[6pt] R_{\text{вписана сфера}}= \dfrac{84}{12 +7\sqrt{2}}\cdot{\dfrac{12 -7\sqrt{2}}{12 -7\sqrt{2}}}= \dfrac{84(12 -7\sqrt{2})}{144-98}= \dfrac{84(12 -7\sqrt{2})}{46} \\[6pt]$ $$ \boxed{ \quad R_{\text{вписана сфера}}= \dfrac{42(12 -7\sqrt{2})}{23} \quad }$$