Система с две неизвестни

[Гост]

Да се реши системата:

[tex]\begin{array}{|l} x^{2 } + 3xy - y^{2 } = 3 \\ 2 x^{2 } + 5xy + y^{2 } = 8 \end{array}[/tex]

[ammornil]

Да се реши системата:

[tex]\begin{array}{|l} x^{2 } + 3xy - y^{2 } = 3 \\ 2 x^{2 } + 5xy + y^{2 } = 8 \end{array}[/tex]

$\\[12pt] \begin{array}{|l} x^{2 } + 3xy - y^{2 } = 3 \\ 2 x^{2 } + 5xy + y^{2 } = 8 \\ \hline 3x^{2} +8xy + 0 =11 \end{array} \\[6pt] 3x^{2} +8xy = 11 \Leftrightarrow x^{2}= \dfrac{11-8xy}{3}\\[6pt] x^{2 } + 3xy - y^{2 } = 3 \Leftrightarrow \dfrac{11-8xy}{3} + 3xy - y^{2 } = 3 \Leftrightarrow y^{2}= \dfrac{11-8xy+9xy -9}{3} \Leftrightarrow y^{2}=\dfrac{2+xy}{3} \\[12pt] \sqsupset{} xy= t \Rightarrow \begin{cases} x^{2}= \dfrac{11-8t}{3} \\[6pt] y^{2}=\dfrac{2+t}{3} \end{cases} \\[12pt] \because{}x^{2}\cdot{y^{2}}= (xy)^{2} =t^{2} \Rightarrow \dfrac{11-8t}{3}\cdot{}\dfrac{2+t}{3}= t^{2} \Leftrightarrow (11-8t)(2+t)=9t^{2} \\[6pt] \Leftrightarrow 22 +11t -16t -8t^{2} =9t^{2} \Leftrightarrow 17t^{2} +5t -22= 0 \\[6pt] \hspace{6em} t_{1,2}= \dfrac{-5\pm{}\sqrt{5^{2}-4\cdot{17}\cdot{(-22)}}}{2\cdot{17}}= \dfrac{-5\pm{39}}{34} \Rightarrow t_{1}=-\dfrac{22}{17}, \quad t_{2}=1 \\[12pt] (1) t=-\dfrac{22}{17} \Rightarrow \begin{cases}x^{2}= \dfrac{11+\dfrac{8\cdot{22}}{17}}{3} =\dfrac{17\cdot{11}+16\cdot{11}}{3\cdot{17}}= \dfrac{33\cdot{11}}{3\cdot{17}}= \dfrac{121}{17}, \quad x=\pm{\dfrac{11\sqrt{17}}{17}} \\[6pt] y^{2}= \dfrac{2 -\dfrac{22}{17}}{3}= \dfrac{34-22}{3\cdot{17}}= \dfrac{12}{3\cdot{17}}= \dfrac{4}{17}, \quad y=\pm{\dfrac{2\sqrt{17}}{17}} \end{cases} \\[6pt] \because{xy}=-\dfrac{22}{17} \Rightarrow \boxed{ \quad x_{1}=-\dfrac{11\sqrt{17}}{17}, y_{1}=\dfrac{2\sqrt{17}}{17} \cup{} x_{2}=\dfrac{11\sqrt{17}}{17}, y_{2}=-\dfrac{2\sqrt{17}}{17} \quad } \\[12pt] (2) t=1 \Rightarrow \begin{cases} x^{2}= \dfrac{11-8}{3} =1, \quad x=\pm{1} \\[6pt] y^{2}= \dfrac{2 +1}{3}= 1, \quad y=\pm{1} \end{cases} \\[6pt] \because{} x\cdot{y}=1 \Rightarrow \boxed{ \quad x_{3}=-1, y_{3}=-1 \cup{} x_{4}=1, y_{4}=1 \quad }\\[12pt]$Проверете за изчислителни грешки и знаци, защото работих в LATEX.

[S.B.]

Да се реши системата:

[tex]\begin{array}{|l} x^{2 } + 3xy - y^{2 } = 3 \\ 2 x^{2 } + 5xy + y^{2 } = 8 \end{array}[/tex]

И още един поглед върху системата :

Очевидно двойката $x = 0;y = 0$ не е решение на системата.

[tex]\begin{array}{|l} x^{2 } +3xy - y^{2 } = 3|. (8)\\ 2 x^{2 } +5xy + y^{2 } = 8|.(-3) \end{array} \Leftrightarrow +\begin{array}{|l} 8 x^{2 } + 24xy -8 y^{2 } = 24 \\ -6 x^{2 } -15xy -3 y^{2 } = -24 \end{array} \Leftrightarrow 2 x^{2 } + 9xy -11 y^{2 } = 0[/tex]

Полученото уравнение [tex]2 x^{2 } + 9xy - 11 y^{2 } = 0[/tex] е хомогенно .
[tex]y\ne 0[/tex] Деля на [tex]y^{2 } \ne 0[/tex]
[tex]2 ( \frac{x}{y}) ^{2 } + 9 \frac{x}{y}- 11 = 0[/tex]
Нека [tex]\frac{x}{y} = t[/tex]

Получавам [tex]2 t^{2 } + 9t - 11 =0 , D = 169 , t_{1,2 } = \frac{-9 \pm 13}{4}, t_{1 } = - \frac{11}{2} , t_{2 } = 1[/tex]

Връщам субституцията [tex]\frac{x}{y} = t[/tex] и получавам:

[tex]t_{1 } = -\frac{11}{2} \Rightarrow \frac{x}{y} = - \frac{11}{2} ; t_{2 } = 1 \Rightarrow \frac{x}{y} = 1[/tex]

Комбинирам с първото уравнение на дадената система и получавам две нови системи:

[tex]\begin{array}{|l} \displaystyle \frac{x}{y} = -\displaystyle \frac{11}{2} \\ x^{2 } + 3xy - y^{2 } = 3 \end{array} \cup \begin{array}{|l} \displaystyle \frac{x}{y} = 1 \\ x^{2 } + 3xy - y^{2 } = 3 \end{array}[/tex]

1)
[tex]\begin{array}{|l} \displaystyle \frac{x}{y} = -\displaystyle \frac{11}{2} \\ x^{2 } + 3xy - y^{2 } = 3 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x =-\displaystyle \frac{11}{2}y \\ x^{2 } + 3xy - y^{2 } = 3 \end{array} \Leftrightarrow (-\displaystyle \frac{11}{2}y) ^{2 } - 3.\displaystyle \frac{11}{2}y.y - y^{2 } = 3 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\frac{121}{4} y^{2 } - \frac{33}{2} y^{2 } - y^{2 } = 3 \Leftrightarrow 51 y^{2 } = 12 \Leftrightarrow 17 y^{2 } - 4 =0 \Leftrightarrow( \sqrt{17}y + 2)( \sqrt{17} y - 2) = 0[/tex]
$$y_{1 } = \frac{2 \sqrt{17} }{17}, x_{1 } = - \frac{11 \sqrt{17} }{17}, y_{2 } = - \frac{2 \sqrt{17} }{17} , x_{2 } = \frac{11 \sqrt{17} }{17}$$

2)
[tex]\begin{array}{|l} \displaystyle \frac{x}{y} = 1 \\ x^{2 } + 3xy- y^{2 }= 3 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x = y \\ x^{2 } + 3xy - y^{2 } = 3 \end{array} \Leftrightarrow y^{2 } +3 y^{2 } - y^{2 } = 3 \Leftrightarrow y^{2 } = 1 \Leftrightarrow (y-1)(y + 1) = 0[/tex]
$$y_{3 } = x_{3 } = 1 ; y_{4 } = x_{4 } = -1$$

[Гост]

Благодаря и на двамата!