Сечение в пирамида

[Гост]

Основата $ABCD$ на пирамидата $ABCDS$ е ромб с диагонали $AC = a$ и $BD = b$.Околният ръб [tex]SA \bot (ABCD),SA = m[/tex].През $A$ и средата $K$ на $SC$ е построена равнина успоредна на $BD$.Намерете лицето на сечението на тази равнина с пирамидата.

[Гост]

sechenie_piramida_400.png (48.74 KiB) Прегледано 2 пъти

Нека [tex]O = AC \cap BD[/tex]. Сечението е четириъгълникът [tex]AMKN[/tex], където [tex]M \in SB[/tex], [tex]N \in SD[/tex] и [tex]MN \parallel BD[/tex].

[tex]AK[/tex] и [tex]SO[/tex] са медиани в [tex]\triangle SAC[/tex], затова се пресичат в медицентъра [tex]G[/tex] и [tex]SG : SO = 2 : 3[/tex]. Отсечката [tex]MN[/tex] минава през [tex]G[/tex] и е успоредна на [tex]BD[/tex], следователно [tex]MN = \frac{2}{3}BD = \frac{2b}{3}[/tex].

[tex]BD \perp AC[/tex] (диагонали на ромб) и [tex]BD \perp SA[/tex], значи [tex]BD \perp (SAC)[/tex]. Тогава [tex]MN \perp AK[/tex].

[tex]\triangle SAC[/tex] е правоъгълен, а [tex]AK[/tex] е медиана към хипотенузата: [tex]AK = \frac{SC}{2} = \frac{\sqrt{a^2+m^2}}{2}[/tex].

Четириъгълникът има перпендикулярни диагонали, затова
[tex]S_{AMKN} = \frac{AK \cdot MN}{2} = \frac{b\sqrt{a^2+m^2}}{6}[/tex].