Параметрично показателно уравнение

[Гост]

Дадено е уравнението:

[tex]4^{x } - 2 a^{2 } (a - 1) 2^{x - 1 } - a^{3 } = 0[/tex]

За кои стойности на реалния параметър $a$ то има два корена с различни знаци?

[ammornil]

Дадено е уравнението:

[tex]4^{x } - 2 a^{2 } (a - 1) 2^{x - 1 } - a^{3 } = 0[/tex]

За кои стойности на реалния параметър $a$ то има два корена с различни знаци?

$\\[12pt]4^{x} - 2a^{2}(a - 1)2^{x - 1} - a^{3} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad (2^{2})^{x}-2a^{2}(a-1)\dfrac{2^{x}}{2}-a^{3}=0 \\[6pt] \quad \Leftrightarrow \quad (2^{x})^{2} -a^{2}(a-1)\cdot{}2^{x}-a^{3}= 0\\[6pt] \quad \sqsupset{} 2^{x}=t \quad \Rightarrow \quad t^{2}-a^{2}(a-1)\cdot{t}-a^{3} =0\\[6pt] \exists{}(x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}, \quad x_{1}<0<x_{2} \Rightarrow \exists{}(t_{1},t_{2})\in\mathbb{R}, \quad 0<t_{1}<1<t_{2} \Rightarrow \\[6pt] [a^{2}(a-1)]^{2} +4a^{3} > 0 \quad \Leftrightarrow \quad a^{4}[a(a^{2}-2a+1)] +4a^{3} >0 \quad \Leftrightarrow \quad a^{3}(a^{3}-2a^{2}+a+4)>0 \\[12pt] \hspace{3em} \begin{array}{l} a^{3}-2a^{2}+a+4 = a^{3} -3a^{2} +4a +a^{2} -3a +4= \\ =a(a^{2}-3a+4) +1(a^{2}-3a+4)= (a+1)(a^{2}-3a+4) \\[6pt] a^{2}-3a+4= a^{2}-2\cdot{}\dfrac{3}{2}\cdot{a}+\dfrac{9}{4} +\dfrac{7}{4}=\left(a-\dfrac{3}{2} \right)^{2}+\dfrac{7}{4} \end{array} \\[12pt] a^{3}(a^{3}-2a^{2}+a+4)>0 \quad \Leftrightarrow \quad a^{3}(a-1)\underbrace{\left[\left(a-\dfrac{3}{2} \right)^{2}+\dfrac{7}{4} \right]}_{>0\ \forall{a}\in\mathbb{R}} >0 \Rightarrow a^{3}(a-1)>0 \Rightarrow \boxed{ \quad \text{Дa}: a\in{}(-1;+\infty) \quad } \\[12pt] f(t)=t^{2}-a^{2}(a-1)\cdot{t}-a^{3} \\[6pt] 0<t_{1}<1<t_{2} \Rightarrow \begin{array}{|l} a\in{}(-1;+\infty) \\ f(1)<0 \\ t_{1}\cdot{t_{2}}>0 \end{array} \\[6pt] \begin{array}{|l} a\in{}(-1;+\infty) \\ 1-a^{2}(a-1) -a^{3} <0 \\ \dfrac{-a^{3}}{1}>0 \quad (\text{от Виет}) \end{array} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{array}{|l} a\in{}(-1;+\infty) \\ 1-a^{3}+a^{2}-a^{3}<0 \\ -a^{3}>0 \end{array} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{array}{|l} a\in{}(-1;+\infty) \\ 2a^{3} -a^{2}-1 >0 \\ a^{3}<0 \end{array} \\[6pt] \hspace{3em} 2a^{3} -a^{2}-1: \quad \text{Хорнер } a=1 \text{ е корен} \rightarrow \\ \hspace{3em} \begin{array}{rrrrrrr} &2a^{3}&-a^{2}&+0a&-1&\div&(a-1)&=&2a^{2}+a+1 \\ &2a^{3}&-2a^{2} \\ \hline &&a^{2}&+0a \\ &&a^{2}&-a \\ \hline &&&a &-1 \\ &&&a&-1 \\ \hline &&&&0 \end{array} \\ \hspace{3em} \Rightarrow 2a^{3} -a^{2}-1=(a-1)(2a^{2}+a+1) \\[6pt] \begin{array}{|l} a\in{}(-1;+\infty) \\ 2a^{3} -a^{2}-1 >0 \\ a^{3}<0 \end{array} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{array}{|l} a\in{}(-1;+\infty) \\ (a-1)\underbrace{(2a^{2}+a+1)}_{>0\ \forall{a}\in\mathbb{R}} >0 \\ a<0 \end{array} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{array}{|l} a\in{}(-1;+\infty) \\ a >1 \\ a<0 \end{array} \\[6pt]$ Последната система е несъвместима, следователно няма реални стойности на $a$ за които да е изпълнено условието на задачата. $$ \nexists{a}\in{}\mathbb{R}: x_{1}<0<x_{2} $$ Проверете за грешки, но според мен няма решения.