Задача от ВВМУ Варна

[baroveca]

В остроъгълен триъгълник дължините на страните са означени с a,b и c. Дължините на радиусите на вписаната и описаната окръжности са означени съответно с r и R. Ако [tex]\delta _1,\delta _2,\delta _3[/tex] са дължините на разстоянията от центъра на описаната окръжност до страните на триъгълника, да се докаже,че [tex]\delta _1+\delta _2+\delta _3=r+R[/tex]

[ganka simeonova]

Ще означа разстоянията като x, y, z, че тези сигми ме влудяват
Имаме: [tex]S_{BOC}+S_{COA}+S_{AOB}=S_{ABC}[/tex]
=>[tex]\frac{1}{ 2}ax+\frac{1}{ 2} by+\frac{1}{ 2} cz=\frac{1}{ 2} (a+b+c)r=>ax+by+cz=(a+b+c)r[/tex](1)
Прилагаме т-та на Птоломей за впписаните [tex]OKBN; OKCL; OLAN[/tex]=>
Зa OKBN:
[tex]NB.OK+BK.ON=OB.NK=>\frac{xc}{ 2} +\frac{az}{2 } =\frac{Rb}{ 2} =>cx+az=Rb[/tex](2)
Аналогично и за другите два и получаваме [tex]bx+ay=Rc[/tex](3)
[tex]cy+zb=Ra[/tex](4)
[tex](1)+(2)+(3)+(4)[/tex].
Групираме, делим на [tex]a+b+c[/tex] и полуачаваме:
[tex]x+y+z=R+r[/tex]

заб: Това е така нареченета теорема на Карно

[ganka simeonova]

И специално за Иван
http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=3679

[baroveca]

Благодаря!!!!!