СУ 6

[martin123456]

Нека [tex]p(x)=x^2-\frac{a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)}{a+b+c}x+\frac{(a^2+b^2+c^2)abc}{a+b+c}[/tex] има корени [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex]. Ако [tex]1 \leq a < b < c \leq 2[/tex], докажете че [tex]1 < x_1 < x_2 < 4[/tex].

[martosss]

И кое и е трудното на тази задача? Просто трябва да съобразим, че трябва да е в сила системата
[tex]\begin{tabular}{|l}f(1)>0\\f(4)>0\\1<-\frac{b}{2a}<4\end{tabular}[/tex]
Това е еквивалентно на
[tex]\begin{tabular}{|l}\frac{\sum_{cyc} a(ac-1)(ab-1)}{a+b+c}>0\\\frac{\sum_{cyc}a(ab-4)(ac-4)}{a+b+c}>0\\\sum_{cyc}a(ab-1)+a(ac-1)>0\\\sum_{cyc}a(ab-4)+a(ac-4)<0\end{tabular}[/tex]
Тази система е в сила от дадените зависимости - [tex]1\le a<b<c\le 2[/tex], откъдето задачата е решена.
Принципно е добре и дискриминантата да се разгледа положителна, но в случая е казано, че има корени х1 и х2, така че не е нужно(евентуално Д различно от нула може да се види, ама това само ако много ви се занимава ).
Единственото противно в тази задача са буквите и многото писане, които ние, разбира се, сме в състояние да избегнем.

[martin123456]

сигурно трудното е да се избегне многото писане
упътване за малко писане: намерете [tex]p(ab), p(ac), p(bc)[/tex]

[estoyanovvd]

Принципно е добре и дискриминантата да се разгледа положителна, но в случая е казано, че има корени х1 и х2, така че не е нужно

Абсолютно необходимо е да се покаже, че дискриминантата е положителна!!!

[estoyanovvd]

В задача с параметър ако е казано, че уравнението има корени, то това е завоалиран начин да се каже, че параметърът приема еди какви си стойности!!! И ти ако не отчетеш това отиваш на кино!!! Аватар или нещо такова.

[martosss]

Еми те ми казват нека еди кво си има корени... значи казват нека D>0, за кво ми е да гледам дискриминанта?? Трябва да се съмнявам в условието, за да тръгна да я смятам

[martin123456]

[tex]p(ab)=abc\frac{ab-bc-ac+c^{2}}{a+b+c}[/tex]
[tex]p(bc)=abc\frac{-ab+bc-ac+a^{2}}{a+b+c}[/tex]
[tex]p(ac)=abc\frac{-ab-bc+ac+b^{2}}{a+b+c}[/tex]

[tex]P(ab)>0, P(ac)<0, P(bc)>0[/tex] и [tex]ab<ac<bc[/tex]=>?

[estoyanovvd]

Еми те ми казват нека еди кво си има корени... значи казват нека D>0, за кво ми е да гледам дискриминанта?? Трябва да се съмнявам в условието, за да тръгна да я смятам

Еми те ти казват по този начин, примерно, че а>3, но тебе кво ти дреме?! Ти си решаваш задачата и получаваш отговор a<2! Ма много ти е зор!!!

[martosss]

Еми при положение, че в условието ми е дадено условие 1<a<b<c<2, то не ми трябва да си усложнявам живота и да смятам нещо допълнително, което в крайна сметка не ми помага никак, а даже напротив - стъжнява ми живота.
Мен не ми дреме, че от Д>0 може да следва a<1.1, защото ми стига да ми кажат 1<a<2, за да си реша задачата А в условието са споменати и двете неща.

В задача с параметър ако е казано, че уравнението има корени, то това е завоалиран начин да се каже, че параметърът приема еди какви си стойности!!!

Да, но в случая дори без това ограничение ние имаме поставени ограничения за параметрите а, б и с, които са ни достатъчни.

[estoyanovvd]

Бъркаш се много, Мартине! Трябва да докажеш, че при така дадените ограничения за параметрите уравнението наистина има корени! Хайде да не спорим за глупости!
Примерно, може да се окаже, че от дискриминантата се получава a>[tex]\frac{3}{ 2}[/tex] и ако не го използваш това нещо няма да можеш да докажеш това, което се търси! Защо си мислиш, че няма такива задачи?! И каква е тази логика просто не мога да разбера??? Влудявате ме понякога!!!

[estoyanovvd]

Има следните задачи. Дадено е някакво равенство в което участват а и в и се казва, че те принадлежат на някакъв интервал. Иска се да се докаже, че принадлежат на част от този интервал! Според теб тази задача е грешна, нали?!След като е даден интервал защо да си усложняваш живота?

[martosss]

Примерно, може да се окаже, че от дискриминантата се получава a>[tex]\frac{3}{ 2}[/tex] и ако не го използваш това нещо няма да можеш да докажеш това, което се търси!

Добре, в случая аз без да използвам дискриминантата го доказах, а те още в условието казват, че се предполага, че уравнението има корени. Това, доколкото аз си го обяснявам, не ме задължава да проверявам дали дискриминантата е неотрицателна(тоест може и да го направя, ама не е задължително). Това, което не съм сигурен, е, дали тези корени са равни. В случая май съм задължен да покажа, че корените са различни(така пише, трябва да се докаже, че [tex]x_1<x_2[/tex], тоест трябва да съм сигурен, че [tex]D\ne 0[/tex], но за [tex]D> 0[/tex] мога да не споменавам и думичка.

Има следните задачи. Дадено е някакво равенство в което участват а и в и се казва, че те принадлежат на някакъв интервал. Иска се да се докаже, че принадлежат на част от този интервал! Според теб тази задача е грешна, нали?!След като е даден интервал защо да си усложняваш живота?

Знам, че има много задачи, но просто в тази конкретно това не се използва. Както не се използваше там за острия ъгъл нещо в една друга задача, за която така добре спорихте

[estoyanovvd]

Отказвам се да споря повече по въпроса!!! С теб!

[martosss]

Ок, ще се опитам да изясня още малко положението.
"Нека Р(х)=... има корени х1 и х2. Ако 1<a<b<с<2, то докажете, че 1<x1<x2<4".
В условието е направено допускане, че у-ето има корени. Тъй като допускането е направено още в условието, то мисля, че може да използваме това допускане без да го доказваме. Все едно да кажат "Нека ни е дадено положителното число x?. Ние знаем, че x? може принципно да е отрицателно, но в случая те казват, че е положително. Това наистина ни дава известни ограничения(х>0). Но в случая аз решавам задачата без да имам нужда от каквито и да е други ограничения. наистина проверката за положителна дискриминанта можеше и да ми даде някакво ограничение. Но аз решавам задачата и без него! И затова си мисля, че щом е направено допускане, не е нужно да се доказва верността на твърдението, по-точно че у-ето има корени.

Пак казвам, абсолютно съгласен съм с вас, че в някои други задачи това може да ни даде допълнително условие( в тази също, но даже нямам люботиството да намеря какво е това условие), а в случая това допълнително условие не ми е трябва, защото всичко си пасва дори и без него.

[estoyanovvd]

Ами ако се окаже, че при така дадените условия уравнението няма реални корени?! Какво си доказал тогава? Не допускаш ли, че задачата може да е сбъркана? Но това не е важно, нали?

[martosss]

Всъщност сега като ми задавате този въпрос наистина се замислям не е ли смислено... ако пък D<0, то веднага няма решнеие и цялата задача губи смисъл, което е... някак си тъпо за самата задача. Ама принципно се доверявам на авторите на задачата.