Равностранен триъгълник

[baroveca]

Страната на равностранен триъгълник е равна на a. От неговия център с радиус [tex]\frac{a}{3 }[/tex] е начертана окръжност. Да се определи лицето на на частите от триъгълника, лежащи вън от тази окръжност.

[ptj]

Разстоянието от центъра на ▲ до всяка страна е [tex]\frac{a}{2\sqrt{3} }[/tex]. Разстоянието от петата на височината до пресечената точка на окръжността и страната е [tex]\sqrt{(\frac{a}{ 3})^2-(\frac{a}{2\sqrt{3} })^2 }=\frac{a}{6 }[/tex]. С други думи пресечените точки и центъра също образуват равностранен триъгълник. Тогава частта от окръжността извън триъгълника е [tex]S_1=\frac{\pi (\frac{a}{3 })^2 }{2 }-3 \frac{\sqrt{3}(\frac{a}{3 })^2 }{4 }=a^2(\frac{\pi }{18 } -\frac{1} {4\sqrt{3} } )[/tex]. Частта от окръжността вътре в ▲ е [tex]S_2=\pi(\frac{a}{3 })^2-S_1=a^2(\frac{\pi }{18 } +\frac{1}{4\sqrt{3} } )[/tex].
Частта от триъгълника извън окръжността е[tex]\frac{\sqrt{3}a^2 }{4 } -S_2=a^2(\frac{\sqrt{3} }{4 }-\frac{\pi }{18 } -\frac{1}{4\sqrt{3} } )=\frac{3\sqrt{3}-\pi }{18 }a^2\approx0.1142.a^2[/tex].