Три задачи от изпит

[baroveca]

1.Да се реши уравнението [tex]sin7x+sin3x+2sin^2x=1[/tex]
2.В квадрат е вписан друг квадрат. Единият от острите ъгли между страните на квадратите е [tex]\alpha[/tex].
При каква стойност на [tex]tg\alpha[/tex] лицето на вписания квадрат е [tex]\frac{2}{ 3}[/tex] от лицето на описания?
3.Даден и трапец ABCD с основи AB=12, CD=5 и права [tex]MNIIAB(M\in AD,N\in BC)[/tex], която разполовява лицето на трапеца. Да се намери MN.
Ако може към втора задача да ми дадете чертежче.
Благодаря предварително!

[Anubis]

Зад. 1. [tex]sin 7x + sin 3x + 2 sin^2 x = 1[/tex]

Знаем, че [tex]sin 7x + sin 3x = 2 sin 5x cos 2x[/tex] и [tex]sin^2x = \frac{1 - cos 2x}{2}[/tex], тогава имаме

[tex]2 sin 5x cos 2x + 1 - cos 2x = 1 \Leftrightarrow 2 sin 5x cos 2x = cos 2x[/tex]

Остана да решим двете уравнения [tex]cos 2x = 0[/tex] и [tex]2 sin 5x = 1[/tex].

[tex]cos 2x = 0 \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + k \pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k \frac{\pi}{2}[/tex]

[tex]2 sin 5x = 1 \Leftrightarrow sin 5x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow sin 5x = sin {\frac{\pi}{6}} \Rightarrow \begin{array}{||} 5x = \frac{\pi}{6} + 2 m \pi \\ 5x = \frac{5 \pi}{6} + 2 m \pi \end{array} \, \Leftrightarrow \begin{array}{||} x = \frac{\pi}{30} + \frac{2}{5} m \pi \\ x = \frac{\pi}{6} + \frac{2}{5} m \pi \end{array}[/tex]

[Anubis]

Зад. 2. Можем да приемем, че страната на големия квадрат е равна на [tex]1[/tex].

Ако означим [tex]AM = x[/tex], то [tex]BM = 1 - x[/tex]. Нека [tex]\angle BMN = \alpha[/tex], тогава [tex]\angle BNM = 90^\circ - \alpha[/tex].

[tex]\triangle AMK \sim \triangle BNM \Rightarrow \frac{AM}{BN} = \frac{MK}{NM} = \frac{AK}{BM}[/tex]

Понеже [tex]\frac{MK}{NM} = 1[/tex], то [tex]AM = BN = x[/tex] и [tex]AK = BM = 1 - x[/tex].

Да приемем, че [tex]BM<BN \Leftrightarrow 1 - x < x \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}[/tex] (и на картинката е така).

[tex]S_{MNLK} = \frac{2}{3} S_{ABCD} \Leftrightarrow MN^2 = \frac{2}{3} AB^2 \Leftrightarrow BM^2 + BN^2 = \frac{2}{3} AB^2 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (1-x)^2 + x^2 = \frac{2}{3} \Leftrightarrow 3 (1-x)^2 + 3x^2 = 2 \Leftrightarrow 6x^2-6x+1=0 \Leftrightarrow x_{1,2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{12} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{6}[/tex]

Но [tex]x > \frac{1}{2}[/tex], тогава [tex]x = \frac{3+\sqrt{3}}{6}[/tex] и [tex]1 - x = \frac{3-\sqrt{3}}{6} \Rightarrow \tan \alpha = \frac{BN}{BM} \Leftrightarrow \tan \alpha = \frac{x}{1-x} \Leftrightarrow \tan \alpha = \frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}[/tex].

[baroveca]

А защо приемаме,че страната на квадрата е 1?

[L.e.o]

3 трапеца с височини h1,h1 и H.
H = h1+h2
S/2 = (5+MN)h1/2 => h1 = S/(MN+5)
S/2 = (12+MN)h2/2 => h2 = S/(MN+12)
S = (12+5)H/2 = 17(h1+h2)/2 = 17S (1/(MN+5) + 1/(MN+12))/2
Разкриваш скобите, привеждаш и ... 2МN^2 = 169 = > MN = 13/√2