Ако Н е ортоцентър в триъгълник АВС и АН=2; ВН=7; СН=11 ...

[ganka simeonova]

Ако Н е ортоцентър в триъгълник АВС и
АН=2; ВН=7; СН=11, да се намерят страните му.

[baroveca]

От синусова теорема имаме,че [tex]c=2Rsin\gamma[/tex].Прилагаме косинусова теорема за триъгълник АНВ, като знаем,че радиуса на описаната около целия триъгълник АВС е равна на радиуса на описаната около АНВ окръжност.

[tex](2Rsin\gamma )^2=4+49+2.2.7.cos\gamma[/tex]
Знаем,че ако Н е ортоцентър в триъгълник, то [tex]AH=2Rcos\alpha , BH=2Rcos\beta , CH=2Rcos\gamma =>cos\gamma= \frac{11}{ 2R}(1)[/tex]
Синусът го представяме като [tex]1-cos^2\gamma[/tex] И заместваме
[tex]4R^2(1-cos^2\gamma )=53+\frac{308}{ 2R}[/tex]Решаваме това уравнение и стигаме до иизвода,че [tex]R=7[/tex]
Сега се връщаме в (1) , заместваме и получаваме трите косинуса.От там получаваме трите синуса. След три синусови теореми достигаме до отговори, но не зам дали са верни:[tex]a=8\sqrt{3}; \, b=7\sqrt{3}; \, c=5\sqrt{3}[/tex]

[ins-]

Ако не греша: AH=2Rcos<A, аналогично и за останалите отсчеки.
Освен това за всеки триъгълник е в сила: [tex]cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosA.cosB.cosC=1[/tex]
Така лесно се намира R, а оттам и sin<A, sin<B, sin<C.
С помощта на Синусова теорема биха могли да се намерят страните на триъгълника.

Не гарантирам, че описаната от мен процедура е оптимална.

[baroveca]

Ако не греша: AH=2Rcos<A, аналогично и за останалите отсчеки.
Освен това за всеки триъгълник е в сила: [tex]cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosA.cosB.cosC=1[/tex]
Така лесно се намира R, а оттам и sin<A, sin<B, sin<C.
С помощта на Синусова теорема биха могли да се намерят страните на триъгълника.

Не гарантирам, че описаната от мен процедура е оптимална.

Моето решение по-горе вярно ли е ?

[Anubis]

http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f=51&t=1404&p=6629#p6629

Това мисля, че отговаря на всички въпроси.

[ganka simeonova]

Иване, фактът, че си получил за радиуса 7, значи че е вярно.
Решението на инс е по- оптимално, но твоето по- ми харесва, защото е "по- логично", поне според мен.
Това тъждество не всеки го знае.