Примерни теми за кандидат-студентски изпит (СУ)

[abs]

ТЕМА 1

1. Да се реши уравнението [tex]\sqrt{9x^2 -12x + 11} - \sqrt{5x^2 -8x + 10} = 2x -1[/tex]

2. Нека [tex]BD (D \in AC)[/tex] е медиана в триъгълника [tex]ABC[/tex], а [tex]AE (E \in BD)[/tex] - медиана в триъгълник [tex]BAD[/tex]. Ако [tex]H[/tex] е симетрична точка на [tex]A[/tex] относно точката [tex]E[/tex] и [tex]F=AH \cap BC[/tex], да се докаже, че [tex]AF=2HF[/tex].

3. Основата на пирамида е ромб с дължина на страната, равна на [tex]2[/tex], а острият му ъгъл е [tex]\frac{\pi }{4}[/tex].
Сфера с радиус [tex]\sqrt{2}[/tex] се допира до равнината на всяка околна стена в точка от съответната страна на ромба. Да се докаже, че петата на височината на пирамидата върху основата е пресечната точка на диагоналите на ромба и да се намери обемът на пирамидата.

4. Да се реши уравнението [tex]tg\sqrt{x + 16} = tg \sqrt{x}[/tex]

ТЕМА 2

1. Да се реши уравнението [tex]\sqrt{x^2 -5x +1} + \sqrt{8x -x^2 -12} = \sqrt{3x - 11}[/tex]

2. Ъглополовящата на [tex]\angle ABC[/tex] пресича описаната около триъгълника [tex]ABC[/tex] окръжност в точката [tex]K[/tex].
Известно е, че [tex]BC=2, BK=3[/tex] и [tex]KC=\sqrt{2}[/tex]. Да се намери дължината на страната [tex]AC[/tex]

3. Страните на триъгълник образуват аритметична прогресия. Да се докаже, че мерките на два от ъглите му са по-малки от [tex]60^{\circ}[/tex] .

4. Да се реши уравненито [tex]tg\frac{4 \pi }{x}=cotg3 \pi x[/tex]

---
Темите са предложени от доц. ИВ. ТОНОВ за сп. Математика (поне това имам като информация.)

[baroveca]

Доцент- адашът не си губи времето да измисля трудни и гадни задачи, но все пак е СУ...Ще ги погледна следобед.Иначе са хубави задачи..карат те да мислиш..

[ganka simeonova]

Тема 2, зад. 3
Означаваме старните на триъгълника като:
[tex]a=b-d; b=b; c=b+d; d>0[/tex]
Тогава трябва да докажем при стандартни означения за ъглите, че:
[tex]\alpha <60^\circ ; \beta <60^\circ[/tex]
Прилагаме кос. т-ми за тези ъгли:

1)[tex]cos\alpha =\frac{b+4d}{2(b+d) } =\frac{1}{ 2} +\frac{3d}{2(b+d) } >\frac{1}{2 } =>\alpha <60^\circ[/tex]

2)[tex]cos\beta =\frac{b^2+2d^2}{ 2(b^2-d^2)} =\frac{1}{2 } +\frac{3d^2}{ 2(b^2-d^2)} >\frac{1}{ 2} =>\beta <60^\circ[/tex]

[dimy93]

1. Да се реши уравнението[tex]\sqrt{9x^2 -12x + 11} - \sqrt{5x^2 -8x + 10} = 2x -1[/tex]

МДС:всяко x
[tex]\sqrt{9x^2 -12x + 11} - \sqrt{5x^2 -8x + 10} = 2x -1|*(\sqrt{9x^2 -12x + 11} + \sqrt{5x^2 -8x + 10} )> 0[/tex]
[tex]4x^2-4x+1 = (2x-1)*(\sqrt{9x^2 -12x + 11} + \sqrt{5x^2 -8x + 10} )|:(2x-1)\ne 0[/tex]
[tex]x=\frac{1}{2}[/tex] е решение
[tex]2x-1=\sqrt{9x^2 -12x + 11} + \sqrt{5x^2 -8x + 10}[/tex] , но [tex]\sqrt{9x^2 -12x + 11} - \sqrt{5x^2 -8x + 10} = 2x -1[/tex]
=>[tex]\sqrt{5x^2 -8x + 10} = 0[/tex] ,което е невъзможно => [tex]x=\frac{1}{2}[/tex] е решението

[dimy93]

1. Да се реши уравнението [tex]\sqrt{x^2 -5x +1} + \sqrt{8x -x^2 -12} = \sqrt{3x - 11}[/tex]

МДС:[tex]x\in [\frac{\sqrt{21} +5}{ 2};6 ][/tex]
[tex]\sqrt{x^2 -5x +1} = \sqrt{3x - 11}-\sqrt{8x -x^2 -12}|*(\sqrt{3x - 11}+\sqrt{8x -x^2 -12})>0[/tex]
[tex]\sqrt{x^2 -5x +1} *(\sqrt{3x - 11}+\sqrt{8x -x^2 -12})= 3x - 11-8x +x^2 +12[/tex]
[tex]\sqrt{x^2 -5x +1} *(\sqrt{3x - 11}+\sqrt{8x -x^2 -12})= x^2 -5x +1|:(x^2 -5x +1)\ne 0[/tex] -de ja vu
[tex]x=\frac{\sqrt{21} +5}{ 2}[/tex]
[tex]\sqrt{3x - 11}+\sqrt{8x -x^2 -12} = \sqrt{x^2 -5x +1}[/tex],но [tex]\sqrt{x^2 -5x +1} = \sqrt{3x - 11}-\sqrt{8x -x^2 -12}[/tex]
=>[tex]\sqrt{8x -x^2 -12} = 0[/tex] =>[tex]x=6[/tex] проверяваме и да [tex]x=6[/tex] e решение
имаме 2 решения :
[tex]x1 =\frac{\sqrt{21} +5}{ 2}[/tex]
[tex]x2 =6[/tex]

[ganka simeonova]

Тема 1, 2 зад) също е сладка

[abs]

Имам още една примерна тема за кандидат-студентски изпит в СУ. Тя е друг формат (10 задачи), но ще я пусна когато решите тези две

[dimy93]

4. Да се реши уравненито [tex]tg\frac{ 4\pi }{x}=cotg3 \pi x[/tex]
така ли трябва да е щото като дадох quote и видях че системата го е прочела грешно

[abs]

4. Да се реши уравненито [tex]tg\frac{ 4\pi }{x}=cotg3 \pi x[/tex]
така ли трябва да е щото като дадох quote и видях че системата го е прочела грешно

Да, това е уравнението.

//Оправих го! Записа уж беше верен

[baroveca]

Тема 2- втора задача- идея.
От триъгълник КСВ намираме [tex]cos{\frac{\alpha }{2 }}[/tex] от кисинусова теорема за ъгъл СВК- понеже през върха В е прекарана ъглополовяща.
След като имаме половинката от косинуса, лесно можем да намерим и целия косинус.
Съединяваме т.К с върха А на тр.АВС и получаваме четириъгълник, вписан в окръжност, в който КС и АС са диагонали.Прилагаме две косинусови теореми за триъгълниците АКС и АВС спрямо диагонала АС и приравняваме. Нека значим АК с х , а АВ-у. Прилагаме и една косинусова теорема и за АВК и така съставяме система...поне така мисля аз.
сигурно има и друг начин...

[abs]

Ми, аз като за начало, бих отбелязъл, че [tex]\Delta ACK[/tex] е равнобедрен.

[baroveca]

Ми, аз като за начало, бих отбелязъл, че [tex]\Delta ACK[/tex] е равнобедрен.

защо да е равнобедрен?

[dimy93]

МДС:[tex]\frac{4\pi }{ x}\ne \frac{(2k+1)*\pi}{2 }[/tex] и [tex]3\pi x\ne k\pi[/tex] и [tex]x\ne0[/tex]
МДС: [tex]x\ne \frac{8}{ 2k+1}[/tex] и [tex]x\ne \frac{k}{3 }[/tex] къдео [tex]k\in Z[/tex]
[tex]tg\frac{4\pi}{x } = tg(\frac{\pi}{2 } -3\pi x )[/tex]
[tex]\frac{4\pi}{x } = \frac{\pi}{2 } -3\pi x + k\pi|:\pi[/tex]
[tex]\frac{4}{ x} = \frac{1}{ 2} -3x +k|*2x\ne 0[/tex]
[tex]8 = x-6x^2+2k*x[/tex]
[tex]6x^2-(2k+1)x+8 =0[/tex]
[tex]D= (2k+1)^2- 6*8*4 \ge 0[/tex] => [tex]k \ge 7[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]k\le -8[/tex]
[tex]x = \frac{2k+1-\sqrt{(2k+1)^2-192} }{ 12}[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]x = \frac{2k+1+\sqrt{(2k+1)^2-192} }{ 12}[/tex],но сега трябва да се съобразим с доп. стойности
[tex]\frac{2k+1\pm \sqrt{(2k+1)^2-192} }{ 12}\ne \frac{m}{3 }|*12[/tex]
[tex]4m\ne 2k+1\pm \sqrt{(2k+1)^2-192}[/tex]единствените стойности за които [tex]\sqrt{(2k+1)^2-192}[/tex] е цяло са :k=9,24,-25,-10
При k=9 [tex]2k+1-\sqrt{(2k+1)^2-192 }= 19-13 = 6[/tex],а [tex]2k+1+\sqrt{(2k+1)^2-192 }= 19+13 = 32[/tex]
=>При k=9 [tex]x =\frac{2k+1+\sqrt{(2k+1)^2-192 }}{12 }[/tex] не е корен
При k=24 [tex]2k+1-\sqrt{(2k+1)^2-192 }= 49-47 = 2[/tex],а [tex]2k+1+\sqrt{(2k+1)^2-192 }= 49+47 = 96[/tex]
=>При k=24 [tex]x =\frac{2k+1+\sqrt{(2k+1)^2-192 }}{12 }[/tex] не е корен
При k=-25 [tex]2k+1-\sqrt{(2k+1)^2-192 }= -49-47 = -96[/tex],а [tex]2k+1+\sqrt{(2k+1)^2-192 }= -49+47 = -2[/tex]
=>При k=-25 [tex]x =\frac{2k+1-\sqrt{(2k+1)^2-192 }}{12 }[/tex] не е корен
При k=-10 [tex]2k+1-\sqrt{(2k+1)^2-192 }= -19-13 = -32[/tex],а [tex]2k+1+\sqrt{(2k+1)^2-192 }= -19+13 = -6[/tex]
=>При k=-10 [tex]x =\frac{2k+1-\sqrt{(2k+1)^2-192 }}{12 }[/tex] не е корен

[tex]\frac{2k+1\pm \sqrt{(2k+1)^2-192} }{ 12}\ne \frac{8}{2m+1 }[/tex]

При k=9 [tex]\frac{2k+1-\sqrt{(2k+1)^2-192 }}{ 12} = \frac{1}{ 2}[/tex],а [tex]\frac{2k+1+\sqrt{(2k+1)^2-192 }}{ 12} = \frac{8}{3 }[/tex]
=>При k=9 [tex]x =\frac{2k+1+\sqrt{(2k+1)^2-192 }}{12 }[/tex] не е корен
При k=24 [tex]\frac{ 2k+1-\sqrt{(2k+1)^2-192 }}{12 }= \frac{1}{ 6}[/tex],а [tex]\frac{ 2k+1+\sqrt{(2k+1)^2-192 }}{12 }= 8[/tex]
При k=-25 [tex]\frac{2k+1-\sqrt{(2k+1)^2-192 }}{ 12} = -8[/tex],а [tex]\frac{2k+1+\sqrt{(2k+1)^2-192 }}{ 12} = -\frac{1}{ 6}[/tex]
При k=-10 [tex]\frac{2k+1-\sqrt{(2k+1)^2-192 }{12 } }= -\frac{8}{3 }[/tex],а [tex]\frac{2k+1+\sqrt{(2k+1)^2-192 }}{12 } = -\frac{1}{2 }[/tex]
=>При k=-10 [tex]x =\frac{2k+1-\sqrt{(2k+1)^2-192 }}{12 }[/tex] не е корен
Извод:
[tex]x=\frac{2k+1-\sqrt{(2k+1)^2-192 }}{12 }[/tex] за всички цели [tex]k\in(-\infty ;-8]\cup [7;+\infty )[/tex]без -10 и -25
[tex]x=\frac{2k+1+\sqrt{(2k+1)^2-192 }}{12 }[/tex] за всички цели [tex]k\in(-\infty ;-8]\cup [7;+\infty )[/tex]без 9 и 24

[baroveca]

Тема 1, 2 зад) също е сладка

Мисля,че я реших:
АНВ-равнобедрен триъгълник- понеже АЕ=НЕ и BD-медиана; AE=EH
СНВ-равнобедрен- понеже CF=BF и АН- медиана. откъдето следва,че AH [tex]\bot BC[/tex].Откъдето пък, ако съединим връх С с т.Е то CEHВ е ромб с диагонал ЕН.Но ЕF=FH. AE=HE.Но HE=2FH. Разглеждаме триъгълник ABF,където ВD е медиана, откъдето следва,че AE=EF=> AF=2EF.но FE=HF=>AF=2HF.Дано разсъжденията ми да са верни.

[MathBet]

Тема 2, задача 2: [tex]AC = 3\sqrt{2}[/tex]

[abs]

@dimy93, май квадратното уравнение не е това.
@baroveca, ти, ти, ти ... ти си добър. За малко да се хвана.

[dimy93]

Да бе да му се невидяло-има 1 2ка пред k
Довечера ще ги оправя

[baroveca]

@baroveca, ти, ти, ти ... ти си добър. За малко да се хвана.

На кое?

[strangerforever]

Тема 2, задача 2: [tex]AC = 3\sqrt{2}[/tex]

Както и да го смятам, получавам [tex]\frac{11\sqrt{2}}{6}[/tex]

[dimy93]

Да бе да му се невидяло-има 1 2ка пред k
Довечера ще ги оправя

я виж сега

[baroveca]

Тема 2, задача 2: [tex]AC = 3\sqrt{2}[/tex]

Както и да го смятам, получавам [tex]\frac{11\sqrt{2}}{6}[/tex]

Не става ли от триъгълник КВС да намерим косинус от половинката ъгъл. Като приложим синусова теорема в този триъгълник и намираме радиуса на описаната к. След това намираме синуса на ъгъл бета, след като намерим целия синус, и от там още една синусова теорема за триъгълни АВС.
ПП- И аз получавам този отговор [tex]\frac{11\sqrt{2}}{6}[/tex]
Откривам,че [tex]AK=\sqrt{2} ,AB=\frac{7}{ 2}[/tex] .Но според мен няма да мине без решаване на система..

[abs]

Тема 2, задача 2: [tex]AC = 3\sqrt{2}[/tex]

Както и да го смятам, получавам [tex]\frac{11\sqrt{2}}{6}[/tex]

Аз също получвам [tex]AC=\frac{11\sqrt{2}}{6}[/tex]

[strangerforever]

Нека [tex]\angle KBC = \alpha[/tex]

cosT ▲BKC - [tex]2 = 13 - 12cos\alpha[/tex]
[tex]cos\alpha = \frac{11}{12} => sin\alpha = \frac{\sqrt{23}}{12}[/tex]
[tex]cos2\alpha = \frac{49}{72}[/tex]
▲KCA - равнобедрен, защото дъгите KC и AK са с големина [tex]2\alpha[/tex]=> CAK и ACK са по алфа => [tex]KA = KC = \sqrt{2}[/tex]
ABCK - вписан в окръжност => [tex]AKC = 180 - 2\alpha[/tex]
cosT ▲AKC - [tex]AC^2 = 4 + 4cos2\alpha <=> AC^2 = 4 + \frac{49}{18} = \frac{72 + 49}{18} = \frac{121}{18} => AC = \frac{11}{3\sqrt{2}} = \frac{11\sqrt{2}}{6}[/tex]

[MathBet]

Сигурно съм сбъркал в изчисленията..
Иначе и аз тръгвам от косинус на половинката на ъгъл B, след което му намирам синуса. От лицето на ▲BKC намирам [tex]R_{ABC}[/tex], след което намирам синуса на целия ъгъл B и правя една синусова теорема за ▲ABC.

EDIT: Направих си изчисленията наново и получавам същото като вас, [tex]\frac{11\sqrt{2} }{6 }[/tex] .

[Mr.G{}{}Fy]

i az poluchavam tolkova