Хубава от СУ

[BTK Strangler]

Функцията f е диференцируема в интервала [0;1] и [tex]f(0) = f(1) = 0[/tex] и [tex]|f'(x)|\le 1[/tex] за всяко х от този интервал. Да се докаже, че за V х от този интервал, че:
а) [tex]|f(x)|\le x[/tex] и [tex]|f(x)|\le 1-x[/tex] ;
б) [tex]|f(x)| < \frac{1}{ 2}[/tex];

Моите разсъждения са:
а) [tex]|f'(x)|\le 1<=> -1\le f'(x) \le 1 <=>\begin{tabular}{|l} f'(x)-1 \le 0\\f'(x)+1\ge 0 \end{tabular}[/tex]. Но това са производните съответно на [tex]f(x) -x[/tex] и [tex]f(x) +x[/tex]. т.е. В интервала [0;1] [tex]f(x) -x[/tex] намалява, а [tex]f(x) +x[/tex] расте, с което и [tex]|f(x)|\le x[/tex] е доказано. С подобни разсъждения доказвам и другото.

б) Събирам двете неравенства от а) и получавам [tex]2|f(x)|\le 1 <=> |f(x)|\le \frac{1}{ 2}[/tex] И тук запецвам Не ми идва как да докажа, че не може да има равенство. Надявам се на някой да му хрумне някоя хубава идейка

[L.e.o]

f(x) = -x^2 + x
отговаря на зададените условия на задачата и f(1/2) = 1/2.
Да не си пропуснал равенствето?

[BTK Strangler]

f(x) = -x^2 + x
отговаря на зададените условия на задачата и f(1/2) = 1/2.
Да не си пропуснал равенствето?

f(1/2) не е ли 1/4

[dimy93]

f(x) = -x^2 + x
отговаря на зададените условия на задачата и f(1/2) = 1/2.
Да не си пропуснал равенствето?

f(1/2) не е ли 1/4

да

[userfool]

За подточка 2:
След като |f(x)| <= x и |f(x)| <= 1-x, очевидно |f(x)| = 1/2 е възможно само при x = 1/2. Предполагаме, че f(x) = 1/2
Нека g(x) = f(x) - x. От т.1 имаме, че е намаляваща в [0,1] тоест тя е намаляваща и в [0, 1/2]. Обаче g(0) = 0 и g(1/2) = 0. От тук следва, че g(x) = const = 0 => f(x) = x при x във интервала [0 - ,1/2].
Нека l(x) = f(x) + x. От т.1 имаме l(x) растяща в интервала [0 , 1]. Значи е растяща и в интервала [1/2 , 1]. Обаче от условието имаме l(1) = 1, а от преположението, че f(1/2) = 1/2 имаме l(1/2) = 1. => l(x) = const = 1 => f(x) = 1 - x в интервала [1/2 , 1].
Да ама по условие f(x) е диференцируема, а при x=1/2 имаме лява производна = 1, дясна равна на -1 тоест f(x) няма производна в 1/2.
За -1/2 е подобно.