СУ - примерна тема

[0xdeadbeef]

Въпрос 1. Да се реши неравенството [tex]3^{x+1} - 3^{2-x} < 26[/tex]
Въпрос 2. Да се реши уравнението [tex]log_4{(x-2)^2} - 2 log_2{x} = 0[/tex]
Въпрос 3. В институт по биология отглеждат винени мушици, като всеки ден броят им се увеличава с [tex]k[/tex] пъти спрямо предходния ден. Ако на шестия ден е имало [tex]96[/tex] мушици, а на единадесетия е имало [tex]3072[/tex], колко мушици е имало на третия ден?
Въпрос 4. Около трапец [tex]ABCD (AB || CD)[/tex], в който [tex]BC = CD[/tex], е описана окръжност с диаметър [tex]AB[/tex]. Да се намери лицето на трапеца, ако [tex]AC = \sqrt{3}[/tex]
Въпрос 5. Да се намерят страните на правоъгълен триъгълник, ако височината и медианата към хипотенузата сключват ъгъл с големина [tex]30^{\circ}[/tex] и дължината на радиуса на вписаната в триъгълника окръжност е [tex]\frac{\sqrt{3} - 1}{2}[/tex]
Въпрос 6. Квадратната функция [tex]f(x) = 2x^2 + bx + c[/tex] е с цели коефициенти и има реални корени [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex], принадлежащи на интервала [tex][0,1][/tex]. Да се намерят [tex]b[/tex] и [tex]c[/tex], ако [tex]x^{2}_{1} + x^{2}_2 = \frac{5}{4}[/tex]
Въпрос 7. В окръжност с радиус 1 е вписан четириъгълник с взаимно перпендикулярни диагонали. Да се пресметне сумата на квадратите на страните на четириъгълника.
Въпрос 8. В триъгълна пирамида [tex]ABCD[/tex] ръбовете [tex]AD,AB[/tex] и [tex]BC[/tex] са два по два взаимно перпендикулярни и имат дължини съответно [tex]3,4[/tex] и [tex]3[/tex]. Да се намерят дължините на радиусите на вписаната и описаната за пирамидата сфери.
Въпрос 9. Да се намерят стойностите на реалния параметър [tex]a[/tex], за който уравненито [tex]\sin{x} + \cos{x} + a\sin{2x} = 0[/tex] има точно един корен в интервала [tex][\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}][/tex]
Въпрос 10. Да се докаже, че за всяко реално число [tex]x[/tex] е изпълнено неравенството [tex]x^4 + 2x^2 -4x + \frac{9}{4} > 0[/tex]

[baroveca]

Хубава и приятна тема. Само не мога да повярвам,че е за СУ..леснички задачки.. но,разбира се, материала който не съм учил ми пречи, за да не реша всички задачи.

[pipi langstrump]

За последната - [tex]2x^2 - 4x + \frac{9}{4} >0[/tex]защото D = -2

[HorusEye]

Тази примерна тема от къде е взета?

[v1rusman]

Как се решава 8-ма ?

[ganka simeonova]

Как се решава 8-ма ?

[tex]AD\bot AB; AD\bot BC=>AD\bot (ABC)=>AD\bot DC[/tex]

[tex]BC\bot BC\bot (ADB)=>BC\bot DC[/tex]=>

Всички стени са правоъгълни триъгълници. Да вземем т.О- среда на DC=>
[tex]OD=OC=OA=OB=>R=\frac{DC}{ 2} =\frac{\sqrt{34} }{ 2}[/tex]
За радиуса на вписаната ползвай, че:
[tex]r=\frac{3V}{ S1}[/tex]

[0xdeadbeef]

1. Отговор: [tex]x \in (-\infty, 2 )[/tex]
2. Отговор: [tex]x = 1[/tex]
3. Отговор: [tex]12[/tex]
4. Отговор: [tex]\frac{3\sqrt{3}}{4}[/tex]
5. Oтговор: [tex]1, \sqrt{3}, 2[/tex]
6. Отговор: [tex]c=1, b=-3[/tex].
Решение: Понеже [tex]x_1, x_2 \in [0,1][/tex], то [tex]0 \le x_1 x_2 \le 1[/tex] и [tex]0 \le x_1 + x_2 \le 2[/tex].
От формулите на Виет имаме: [tex]-\frac{b}{2} = x_1 + x_2 \Rightarrow b \in [-4,0][/tex] и [tex]\frac{c}{2} = x_1 x_2 \Rightarrow c\in [0,2][/tex].
Сега от [tex]x^{2}_{1} + x^{2}_{2} = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (-\frac{b}{2})^2 - c = \frac{5}{4}[/tex] намираме [tex]b^2 = 5 + 4c[/tex] [tex](*)[/tex]
Чрез заместване в [tex](*)[/tex] с [tex]c=0,1,2[/tex], установяваме, че само за [tex]c=1[/tex]: [tex]b \in \mathbb{Z}[/tex] и [tex]b \in [-4,0][/tex] т.е. [tex]b=-3[/tex]. Tака [tex]f(x) = 2x^2 -3x + 1[/tex] и [tex]f(x)=0[/tex] има корени [tex]x_1 = \frac{1}{2}[/tex] и [tex]x_2 =1[/tex]

7. Отговор: [tex]8[/tex].
Решение: Означаваме [tex]\angle BAC = \alpha, \angle CAD = \beta[/tex]. От синусова теорема за [tex]\triangle ABC[/tex] и [tex]\triangle ABD[/tex] получаваме съответно [tex]BC=2\sin{\alpha}, AD = 2\sin{\angle ABD}= 2\sin{(90^{\circ} - \alpha)}[/tex]. Аналогично [tex]CD=2\sin{\beta}, AB= 2\sin{(90^{\circ} - \beta)}[/tex]. Сега [tex]AB^2 + BC^2 + CD^2 + AD^2 = 4\sin^2{\alpha} + 4\cos^2{\alpha} + 4\sin^2{\beta} + 4\cos^2{\beta} = 8[/tex]

8. Виж горния пост.

9. Отговор: [tex]a \in ( - \infty, - \sqrt{2}] \cup [0, + \infty)[/tex]
Решение: Полaгаме [tex]t = \sin{x} + \cos{x}[/tex] от условието имаме [tex]x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}] \Leftrightarrow t \in [0, \sqrt{2}][/tex]. Означаваме [tex]\varphi(t) = at^2 +t - a[/tex]. Сега условието е еквивалентно на това [tex]\varphi(t)=0[/tex] да има единствен корен [tex]t_0 \in [0,\sqrt{2}][/tex].
Първи случай: За [tex]a=0[/tex], решаваме [tex]\varphi(t) = 0[/tex] и намираме [tex]t_0 = 0 ( t_0 \in [0,\sqrt{2}] )[/tex], следователно [tex]a=0[/tex] е решение.
Втори случай: [tex]D(a) = 1 + 4a^2[/tex]. Понеже [tex]D(a) > 0[/tex] за всяко [tex]a[/tex], то [tex]\varphi(t) = 0[/tex] има два реални корена [tex]t_1<t_2, t_1 \ne t_2[/tex]. Само един от тях ще бъде в интервала [tex](0,\sqrt{2})[/tex], когато [tex]\varphi (0) \varphi (\sqrt{2}) < 0[/tex]. Последното неравенство има решения за [tex]a \in (-\infty , -\sqrt{2} ) \cup (0,+\infty )[/tex].
И накрая остана да проверим десния край на интервала [tex][0,\sqrt{2}][/tex].
[tex]\varphi(t=\sqrt{2}) = a + \sqrt{2} =0 \Rightarrow a=-sqrt{2}[/tex] също е решение.

10. Виж втория пост.