ТУ и УАСГ - Примерни теми

[0xdeadbeef]

Тема 1: ТУ–София
1.1. Да се реши уравненито: [tex]2(\sin{x} - \cos{x})^3 + \sin{x} + \sin{2x} - \cos{x} = \sqrt{3}(\cos{x} + \sin{2x} - \sin{x}).[/tex]

1.2. Да се реши неравенството: [tex]\sqrt{x^3 - \frac{3}{4}x} \ge \sqrt[3]{\frac{1}{8} + \sqrt{-x^2 - \frac{1}{2}x}}[/tex]

1.3. Трапецът [tex]ABCD (AB || CD, AB>CD)[/tex] е вписан в окръжност. Основата [tex]CD[/tex] е диаметър на окръжност, която се допира до [tex]AB[/tex]. Разстоянията от пресечната точка на диагоналите на трапеца до [tex]AB[/tex] и [tex]CD[/tex] се отнасят съответно [tex]3:1[/tex].
a) Да се намери отношението на лицата на трапеца [tex]ABCD[/tex] и триъгълника [tex]ABD[/tex]
б) Да се намери [tex]tg{\angle ADB}[/tex]

1.4. В прав кръгов конус с височина [tex]h[/tex] и образуваща [tex]\frac{h\sqrt{5}}{2}[/tex] са вписани правилни триъгълни призми така, че долната основа на всяка призма лежи на основата на конуса, а а върховете на горната `и основа лежат на околната повърхнина на конуса. Да се намери разстоянието от върха на конуса до горната основа на тази призма, чиято пълна повърхнина има най-голямо лице

---

Тема 2: ТУ–София
2.1. Да се реши системата [tex]\begin{array} \frac{x^2 + y^2}{xy} & = & \frac{5}{2} \\ |x^2 + 2x - 2y| & \ge & |x^2 + 2y - 2x| \\
\end{array}[/tex]

2.2. Да се намерят точките [tex]M[/tex] от равнината на даден правоъгълник, за които сумата от квадратите от разстоянията от [tex]M[/tex] до всеки от върховете на правоъгълника е равна на сумата от квадратите на страните на правоъгълника

2.3. Точките [tex]M_1[/tex] и [tex]M_2[/tex] лежат на ръба [tex]AD[/tex] на триъгълна пирамида [tex]ABCD[/tex] като [tex]AM_1 = 2M_1D[/tex] и [tex]AM_2 = 3M_2D[/tex] . През [tex]M_1[/tex] е прекарана равнина [tex]\alpha[/tex], успоредна на ръбовете [tex]AB[/tex] и [tex]CD[/tex], а през [tex]M_2[/tex] - равнина [tex]\beta[/tex], успоредна на [tex]\alpha[/tex]. Да се намери как се отнасят обемите на частите, на които [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] разделят пирамидата [tex]ABCD[/tex]

2.4. Да се реши уравнението [tex]x^2 - (4a - 2a^2)x \sin{\frac{\pi x}{\sqrt{8a - 4a^2}}} + 1 = 0[/tex] в зависимост от параметъра [tex]a[/tex]

---

Тема 3: УАСГ–София
3.1. Дадена е функцията [tex]f(x) = 4^x + 2(2a + 1)2^x + 4a^2 - 3[/tex], където [tex]a[/tex] е реален параметър.
a) Да се реши неравенството [tex]f(x) > 0[/tex] при [tex]a=0[/tex]
б) Да се намери, ако съществува, най-малката стойност на [tex]f(x)[/tex] в зависимост от [tex]a[/tex]
в) Да се намерят стойностите на [tex]a[/tex], при които неравенството [tex]f(x) > 0[/tex] е изпълнено за всяко [tex]x[/tex]

3.2. В окръжност с радиус [tex]1[/tex] е вписан трапец с периметър [tex]4[/tex] и бедро [tex]x[/tex].
a) Да се докаже, че диагоналът на трапеца е [tex]d = \sqrt{h^2 + (2-x)^2}[/tex], където [tex]h[/tex] е височината на трапеца.
б) Да се докаже, че лицето на трапеца е [tex]S = \frac{x(2-x)^2}{\sqrt{4 - x^2}}[/tex].
в) За коя стойност на [tex]x[/tex] лицето [tex]S[/tex] е най-голямо?

3.3. В правилна четириъгълна пирамида [tex]ABCDM[/tex] частното на височината [tex]OM[/tex] и основния ръб е [tex]\sqrt{2}[/tex].
a) Да се докаже, че центърът на вписаната сфера дели [tex]MO[/tex] в отношение [tex]3:1[/tex], считано от [tex]M[/tex].
б) През точката [tex]A[/tex], успоредно на [tex]BD[/tex], е прекарана равнина [tex]\alpha[/tex], допираща се до вписаната в пирамидата сфера. Да се докаже, че косинусът на ъгъла м/у [tex]\alpha[/tex] и равнината на основата е [tex]\frac{3}{5}[/tex].
в) Ако основният ръб на пирамидата е [tex]1[/tex], да се намери разстоянието м/у правата [tex]MO[/tex] и пресечницата на равнините [tex]\alpha[/tex] и [tex](ABM)[/tex]

[c3ckooo]

Много ще съм благодарен, ако някой напише отговорите и решенията на 3 тема за УАСГ