Кандидат-студентски задачи

[0xdeadbeef]

В тази тема ще пост-вам задачи за кандидат-студенти, които се надявам да бъдат полезни за всички такива или които не след дълго ще бъдат.


За да бъде по-интересно:

• За всяко различно решение на задача в определения срок ще бъдат давани точки;
• Точките давани на всяка задача, ще бъдат в зависимост от нейната трудност и в интервала [1,10];
• Всеки може да се включи само с решение на задача;
• Точки ще бъдат давани само на решения отговарящи на правилата (по-долоу);
• Всяка седмица (започвайки от денс 05.05.11) ще представям статистика;

Всеки който иска да предложи задача или да реши такава, моля първо да прочете следните правила:

Пост-вайте задачи

• само ако имате решение подръка;
• решението на които не би трябвало да отнема повече от 2-3 часа;
• които са от примерни/реални кандидат-студентски изпити или са подходящи за кандидат-студенти;
• с пореден номер;

Ако задачата не бъде решена от нито един потребител в определения от Вас срок, напишете вашето решение, за да можем да продължим напред.

Не пост-вайте задачи преди

• дадения от потребителя краен срок за последните;
• да бъдат решени всички нерешени;

Не пост-вайте повече от две задачи наведнъж.

Ако пост-вате решение на задача, то

• да бъдe с необходимите обосновки;
• ако e планиметричнa/стереометричнa с необходимия чертеж и означения;
• използвайте LaTeX за необходимата символика;

Моля, придържайте се към темата, ако имате въпроси,забележки или предложения използвайте системата за лични събощения.

*запазвам си правото да променям правилата, когато е необходимо!







(4т.) Задача 1. За кои стойности на прамеръта m уравнението [tex](m-2)x^2 + 2(2m-3)x + 5m - 6 = 0[/tex] има корени с различни знаци и абсолютната стойност на положителния корен е по-голяма от абсолютната стойност на отрицателния корен.
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 081#p29551 ( BTK Strangler )

(6т.) Задача 2. Периметърът на[tex]\triangle ABC[/tex] e 2p. На страните AB и AC са взети точките D и E, така че DE||BC и DE се допира до вписаната в [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност. Да се намери дължината на страната BC, при която DE има най-голяма дължина. Да се намери най-голямата дължина на DE.
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 081#p29554 ( ganka simeonova )

(5т.)Задача 3. Решете уравнението [tex]3^{(2x^2 -7x +3)} = 4^{(x^2 - x - 6)}[/tex].
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 081#p29561 ( kucheto )
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 081#p29562 ( BTK Strangler )

(5т.)Задача 4. В окръжност с радиус 1 е вписан трапец ABCD с основа AB = 2. Да се докаже, че лицето на трапеца е равно на [tex]\sin\varphi(1+cos\varphi)[/tex], където [tex]\varphi[/tex] е големината на острия ъгъл между диагоналите AC и BD. Да се намери онази стойност на \varphi, за която лицето на трапеца е най-голямо.
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 081#p29573 ( BTK Strangler )

(5т.) Задача 5. Дадена е функцията[tex]f(x) = 30x^4 + 18x^2 -16x + 3[/tex], да се докаже че:

f'(x)=0 има единствен реален корен;
f(x)>0 за всяко реално x;

http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... =20#p29600 ( BTK Strangler )

(5т.) Задача 6. Нека ABCD е трапец, точките P и Q са средите съответно на голямата основа AB и на малката основа CD, а F е пресечната точка на правите AD и BC. Дадени са AD=12, BC=26 и[tex]\cos{\angle AFB} = -\frac{7}{13}[/tex]. Да се намерят:

разликата AB-CD и дължините на отсечката PQ и височината на трапеца;
дъжините на AB и CD, ако [tex]FQ = \frac{11}{2}[/tex];

http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... =20#p29604 ( strangerforever )

(4т.)Задача 7. Докажете, че неравенството: [tex]\sqrt[4]{x} \le 2x + \frac{3}{8}[/tex] е вярно за [tex]x \ge 0[/tex].
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... =20#p29609 ( strangerforever )

(6т.)Задача 8. Нека
[tex]h(x)=\left\{ \frac{f(x)}{g(x)}, \small(0<|x|<2\pi)\text{~~~~~~}\atop\ \frac{1}{4},x = 0 \text{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~} \right\}[/tex].
където[tex]f(x) = 2 - 2 \cos{x} - x\sin{x}[/tex] и [tex]g(x) = x^2 - \sin^2{x}[/tex].
Докажете, че[tex]h(x) > 0[/tex] за [tex]x \in (-2\pi, 2\pi)[/tex]
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... =20#p29740 ( tautochrone )

(5т.) Задача 9. Да се реши уравнението: [tex]log^2_{3}{(x-2)} + (x-5)log_{3}{(x-2)}= 6-x[/tex]
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... =20#p29727 ( strangerforever )

(5т.) Задача 10. Даден е такъв трапец ABCD (AB||CD), че окръжността с диаметър AD да се допира до правата BC. Ако AD=m и BC=n, да се намери лицето на трапеца.
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... =20#p29882 ( ganka simeonova )

(4т.) Задача 11. Даден е правоъгълен триъгълник ABC с катети AC=4 и BC=3. Ъглополовящата на [tex]\angle ACB[/tex] пресича хипотенузата AB в точката L, а [tex]H_1[/tex] и [tex]H_2[/tex] са ортоцентровете съответно на триъгълниците ACL и BCL. Да се намери дължината на [tex]H_1[/tex] [tex]H_2[/tex].
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... =40#p29940 ( tautochrone )
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... =40#p29942 ( strangerforever )

(6т.) Задача 12. Да се докаже, че за всяка стойност на реалния параметър [tex]a[/tex], уравнението [tex]x^3 + 3ax^2 - 9a^2x + 6a^3 =0[/tex] има единствено решение.
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... =20#p29897 ( ganka simeonova )

(4т.) Задача 13. В правоъгълния [tex]ABC(\angle C = 90^\circ)[/tex] е вписана окръжност, която се допира до хипотенузата в точка K. Нека AB=12 и AK=x. За коя стойност на x лицето на [tex]\triangle ABC[/tex] е най-голямо?
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... =40#p29945 ( kucheto )

(6т.) Задача 14. За[tex]k \ge 2[/tex], докажете, че [tex](k+1)\cos{\frac{\pi}{k+1}} > 1 + k\cos{\frac{\pi}{k}}[/tex].
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... =40#p30196 ( ganka simeonova )
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... =40#p30235 ( tautochrone )
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... =40#p30280 - поправка към второто ( tautochrone )

(4т.)Задача 15. Да се намерят стойностите на реалния параметър a, за които уравнението [tex](a^2 + a -6)2^x + 2^{-x} = 2a[/tex] има един положителен и един отрицетелен корен.
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... =60#p30299 ( dimy93 )

(4т.)Задача 16. В правоъгълния триъгълник ABC от върха на правия ъгъл ACB са спуснати височината CH и медианата CM. Известно е, че[tex]CM=\frac{\sqrt{17}}{2}[/tex] и [tex]\sin{\angle HCM } = \frac{8}{17}[/tex]. Да се намерят катетите на дадения триъгълник.
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... =60#p30293 ( dimy93 )

(5т.)Задача 17. Докажете, че[tex](1-a)^n \ge 1 - na[/tex], където [tex]0 \le a < 1, n \in \mathbb{N}[/tex].
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... =60#p30480 ( vel.angelov )

(5т.)Задача 18. Основите на трапец имат дължина 4a и a. Средата на всяка от тях е съединена с краищата на другата основа и получените отсечки се пресичат в точките K и P. Да се намери дължината на отсечката KP.
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... =60#p30304 ( dimy93 )

(4т.)Задача 19. Намерете стойностите на реалния параметър а, за които уравнението [tex]lg(2x^2-4(a-2)x+8+2a)=lg(x^2-2ax+a)[/tex] има единствен корен.
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... =80#p30761 ( dimy93 )

(6т.)Задача 20. Да се намерят стойностите на реалния параметър [tex]a[/tex], за които уравнението [tex]9^{-|x-2|}-4a.3^{-|x-2|}+a=0[/tex] има корен.
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... =80#p30764 ( dimy93 )

(7т.)Задача 21. Даден е куб [tex]ABCD A_1 B_1 C_1 D_1[/tex] с дължина на ръба a е пресечен с две равнини. Първата минава през средите на AB и BC и е успоредна на [tex]BD_1[/tex]. Втората минава през [tex]B_1[/tex] и е перпендикулярна на[tex]BD_1[/tex].Намерете дължината на отсечката обща за двете сечения.
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... =80#p30931 ( dimy93 )

(8т.)Задача 22. Даден е куб [tex]ABCD A_1 B_1 C_1 D_1[/tex] с дължина на ръба a е пресечен с равнина. Тя минава през [tex]A_0[/tex] ,такава че[tex]\vec{AA_0} = k *\vec{AA_1}(k \in [0;1])[/tex] и е перпендикулярна на [tex]BD_1[/tex].Намерете лицето на сечението и намерете за кое k то е най-голямо.
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... =80#p30938 ( dimy93 )

(6т.)Задача 23. Намерете целите p за които[tex]\sin{2x}+p\cos{x}=\frac{2p}{ \cos{x} }[/tex] има решение.
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... =80#p30901 ( Mr.G{}{}Fy )
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... =80#p30902 ( tautochrone )

(7т.)Задача 24. Дадено:[tex]\Delta ABC[/tex],M-медицентър,[tex]A_1,B_1[/tex]-среди съответно на BC и AC,[tex]\angle AMB = \gamma_1[/tex],[tex]\angle ACB = \gamma[/tex],[tex]AB=c[/tex],[tex]BC=a,AC=b[/tex],[tex]S\Delta ABC=S[/tex]
a)[tex]\gamma_1=?[/tex] , ако [tex]3S=AA_1*BB_1[/tex]
б)Докажете: [tex]cotg\gamma -cotg\gamma_1=\frac{a^2+b^2+c^2}{6S }[/tex]
в)Ако [tex]\gamma +\gamma_1=\pi[/tex] ,докажете [tex]\gamma \le \frac{\pi}{3 }[/tex].Какъв е триъгълника при[tex]\gamma = \frac{\pi}{3 }[/tex] и [tex]\gamma_1 = \frac{2\pi}{3 }[/tex]?
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... =80#p30956 ( tautochrone )
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 100#p31172 - добавка към горното ( tautochrone )

(3т.)Задача 25. Решете уравнението [tex](\sqrt{2}+1)^{x}+(\sqrt2-1)^{x}=6[/tex]
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... =80#p30907 ( dimy93 )

(7т.)Задача 26. Да се докаже че от произволни тринадесет числа могат да се изберат две - x и y такива, че
[tex]0\le \frac{x-y}{ 1+xy} <\frac{\sqrt{2-\sqrt{3} }}{ \sqrt{2+\sqrt{3} }}[/tex].

http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 100#p31183 ( tautochrone )

(5т.)Задача 27. Докажете :[tex]{\Sigma}^n_{i = 0}cos(\alpha + i\beta ){\Sigma}^n_{i = 0}sin(\alpha + i\beta )=\frac{sin^2{\frac{(n+1)\beta }{2 } }sin(2\alpha + n\beta )}{ 2sin^2{\frac{\beta }{ 2} }}[/tex]
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 100#p31097 ( strangerforever )

(3т.)Задача 28. [tex]\sqrt{log_x\sqrt{5x}}log_{5x}=-1[/tex]
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 100#p31092 ( strangerforever )

(4т.) Задача 28'. Решете уравнението [tex]x^2 + 2x + \sqrt{2x^2 +4x + 3}=6[/tex].
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 120#p31209 ( dimy93 )

(4т.) Задача 29. Решете неравенството[tex]log_{2}{log_{\frac{1}{2}}{\frac{3x + 5}{x^2 + 1}}} < 1[/tex].

(5т.) Задача 29'. Докажете, че ако уравнението [tex]x^4-ax^3-6x^2+ax+1=0[/tex] има поне един рационален корен, то има четири рационални корена.
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 160#p31521 ( dimy93 )

(3т.) Задача 30. Решете наравенството [tex]\frac{lg7-lg(-8x-x^2)}{lg(x+3) } >0[/tex]
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 120#p31226 ( dimy93 )

(5т.) Задача 31. Решете неравенството [tex]\frac{4^x+2^x-4}{x-1 } \le 2[/tex]

(2т.) Задача 32. Докажете, че[tex]\frac{1}{2sin10^\circ }-2sin70^\circ=1[/tex]
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 160#p31514 ( tautochrone )

(5т.) Задача 33. Две окръжности [tex]k_1(O_1,r_1)[/tex] и [tex]k_2(O_2,r_2)[/tex] се допират външно в точката C, a AB e тяхната обща външна допирателна [tex](A \in k_1, B \in k_2[/tex]). Да се намерят радиусите [tex]r_1[/tex] и[tex]r_2[/tex], ако AC = a и BC = b.
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 160#p31567 ( tautochrone )

(5т.) Задача 34. Триъгълникът ABC е вписан в окръжност. Ъглополовящата на ъгъл C пресича AB в т. L, а описаната окръжност- в т. P, като AL:LB=2:1
От точка P е построен перпендикуляр към CB, който пресича CB в т.T.
Да се намери отношението CT:CB.
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 180#p31695 ( tautochrone )
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 180#p31706 ( Mr.G{}{}Fy )
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 240#p31890 ( BTK Strangler )

(5т.) Задача 35. Нека I е центърът на вписаната окръжност в триъгълника ABC. Нека тази окръжност се допира до страните BC, CA и AB съответно в K,L и M. Правата през B, успорена на MK, пресича правите LM и LK съответно в точките R и S. Да се докаже, че [tex]\angle RIS[/tex] е остър.
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 180#p31634 ( ganka simeonova )

(4т.) Задача 36. Даден е трапец с бедра[tex]3\sqrt{2}[/tex]см. и 5см. Намерете височината му, ако [tex]\sin\varphi = \frac{1}{3}[/tex], където [tex]\varphi[/tex] е мярката на ъгъла образуван от бедрата му.
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 200#p31729 ( prodanov )
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 200#p31730 ( strangerforever )

(5т.) Задача 37. Дадена е функцията [tex]f(x) = x^2 -mx +m-1[/tex]
a) За коя стойност на параметъра m допирателната към графиката в т. [tex]x_0 = \sqrt{3}[/tex] сключва с положителната посока на оста Ox ъгъл [tex]30^\circ[/tex].
б) Ако[tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex] са корените на [tex]f(x) = 0[/tex], да се намери най-малката стойност на [tex]P = m(x^{2}_{1} + x^{2}_{2} -6)[/tex] ако [tex]m \in [0,2][/tex]
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 180#p31717 ( prodanov )

(6т.) Задача 38. Даден е [tex]\Delta ABC[/tex]. X лежи на BC и AX е ъглополовящата на [tex]\angle BAC[/tex]. Y лежи на AC и BY е ъглополовящата на [tex]\angle ABC[/tex]. [tex]\angle BAC = 60^\circ[/tex]. AB + BX = AY + YB. Да се намерят всички възможни стойности на [tex]\angle ABC[/tex].
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 200#p31747 ( loving_math )

(2т.) Задача 39. Даден е квадрат ABCD със страна a, в който точка N е средата на BC, а M е от страна CD, така че CM:MD=2:1. Диагоналът BD пресича AN и AM съответно в точките P и K. Да се намери лицето на петоъгълника KPNCM.
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 200#p31744 ( strangerforever )

(5т.) Задача 40. Дадена е квадратната функция [tex]f(x)=x^2+(a-3)x+b-3[/tex].
Да се намери най-малката стойност на [tex]f(x)[/tex], ако[tex]f(x)\ge(a-3)x^2+(b-3)x+1\ge (b-3)x^2+x+a-3[/tex] са изпълнени за всяко x и [tex]a,b \in \mathbb{R}[/tex].
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 200#p31748 ( prodanov )

(2т.)Задача 41. Четири числа образуват монотонна геометрична прогресия така, че сборът на първите две към сбора на последните две се отнася както 1:4 и произведението на първите две е с 10 по-голямо от четвъртото. Намерете числата.
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 200#p31760 ( BTK Strangler )

(3т.)Задача 42. Решете системата:
[tex]\begin{array}{|l} 3^{2x - 2y} + 2.3^{x-y} -3 = 0 \\ 3^x + 3^{1-y} = 4 \end{array}[/tex]


http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 200#p31755 ( prodanov )

(3т.)Задача 43. Докажете неравенствата:
а)[tex]2^x + 2^{-x} \ge 2-x^2[/tex]
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 200#p31765 ( BTK Strangler )
б)[tex]x^2+x+1 > sinx[/tex]
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 220#p31814 ( ganka simeonova )
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 220#p31825 ( tautochrone )

(4т.)Задача 44. Решете уравнението: [tex]log_5(3.2^{x+1}-2^{-x}.5^{2x+1})-x=log_513[/tex].
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 220#p31809 ( BTK Strangler )

(7т.)Задача 45. В правоъгълен триъгълник е вписана окръжност. Съединени са допирните й точки със страните на триъгълника. В получения триъгълник са построени две височини от върховете, които са допирни точки на окръжността с катетите. Отсечката, която съединява петите на височините, има дължина d. Една от отсечките, на които се разделя хипотенузата на правоъгълния триъгълник от допирната точка на вписаната окръжност има дължина m(m>d). Намерете лицето на правоъгълния триъгълник
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 220#p31820 ( tautochrone )
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 220#p31867 - добавка към горното ( tautochrone )

(10т.)Задача 46. Нека [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex], където a,b и c са реални параметри.
Да се докаже, че:
а)[tex]f(x) = \frac{x(x-1)}2f(-1) + (1-x^2)f(0) + \frac{x(x+1)}2f(1)[/tex];
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 220#p31817 ( BTK Strangler )
б) Ако [tex]|f(-1)| \le 1,\vspace{} |f(0)| \le 1[/tex],[tex]\vspace{} |f(1)| \le 1\vspace{}[/tex], то[tex]\forall x \in [-1,1]:\vspace{}|f(x)| \le \frac54[/tex]
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 220#p31819 ( ganka simeonova )

(5т.)Задача 47. Докажете, че неравенството [tex]t(2+\cos{t}) > 3\sin{t}[/tex] е вярно за [tex]t>0[/tex].
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 240#p32010 ( int )

(3т.)Задача 48. В [tex]\triangle ABC[/tex] е прекарана медианата CM, върху която е взета точка N, през която е прекарана права, минаваща през върxа A, до пресичането и със страната BC в точката D. Точката N e съединена с върxа B, така че лицето на [tex]\triangle BND[/tex] е [tex]5cm^2[/tex], а лицето на [tex]\triangle ANB[/tex] е [tex]25cm^2[/tex]. Намерете лицето на [tex]\triangle ABC[/tex].
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 240#p31960 ( BTK Strangler )

(3т.)Задача 49. Даден е успоредник със страна a и лице [tex]a^2[/tex]. Взети са средите на страните - [tex]M \in AB[/tex],[tex]N \in BC[/tex], [tex]P \in CD[/tex], [tex]Q \in AD[/tex]. Построени са отсечките AP, BQ, CM и DN. Да се намери лицето на четириъгълника с върхове пресечните точки на построените отсечки.
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 240#p31994 ( Martin Nikovski )

(4т.) Задача 50. Дадено е уравнението [tex]x^3 + nx -3n=0[/tex], където параметърът n е естествено число. Да се докаже, че уравнението има единствен реален корен, и да се намерят всички стойности на n, за които този корен е цяло число.
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 240#p32012 ( BTK Strangler )
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 240#p32015 ( ganka simeonova )
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 240#p32016 ( Mr.G{}{}Fy )

(5т.)Задача 51. Окръжност[tex]k_1[/tex] с радиус 17 пресича друга окръжност[tex]k_2[/tex]с радиус 25 в точки A и B. Разстоянието между центровете на двете окръжности е 28. Нека N е такава точка на [tex]k_2[/tex], че средата M на хордата AN лежи на [tex]k_1[/tex]. Да се намери AN.
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 260#p32056 ( tautochrone )

(5т.)Задача 52. Нека f(x) е строго растяща функция, дефинирана за x > 0. Ако[tex]f(x) > -\frac{1}{x}[/tex]и [tex]f(x)f(f(x)+\frac{1}{x}) = 1[/tex] за всяко x > 0, намерете f(1).

(5т.)Задача 53. Определете тези стойности на [tex]\alpha \in[0;180^\circ][/tex], за които квадратното уравнение [tex]2cos^2\alpha .x^2-4cos\alpha .x+4cos^2\alpha -1=0[/tex] има два различни реални корена.
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 260#p32036 ( Martin Nikovski )
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 260#p32037 ( BTK Strangler )

(3т.)Задача 54. Да се намерят всички стойности на параметъра m , за които неравенството [tex](m-1)x^2+(2m-3)x+m-3>0[/tex], [tex](m \ne 1)[/tex]е изпълнено за поне една стойност на x<1.
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 260#p32100 ( prodanov )

(5т.)Задача 55. Да се намерят всички стойности на параметъра m, при които неравенството [tex](m+2)x^2-4x+3m+7>0[/tex], [tex](m\ne-2)[/tex] е изпълнено за всяко x>0.

(4т.) Задача 56. Ако [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex] са корени на уравнението[tex]x^2 +px + q=0[/tex] и [tex]S_n = x^{n}_{1} + x^{n}_{2}[/tex], да се докаже, че [tex]S_n + pS_{n-1} + qS_{n-2}=0[/tex]
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 260#p32163 ( ganka simeonova )

(5т.) Задача 57. Даден е куб ABCD A_1 B_1 C_1 D_1 с ръб равен на 1. Да се намери разстоянието и ъгълът между правите A_1D и BD_1.
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 280#p32282 ( prodanov )
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 280#p32284 ( ganka simeonova )

(5т.) Задача 59. Решете уравнението: [tex]2+cos^{2}8x+cos^{2}2x=2cos8xcos2x+\sqrt{3}sinx+cosx[/tex].
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 280#p32342 ( tautochrone )

(4т.) Задача 60. Даден е остроъгълен триъгълник ABC, в който M е средата на AB, H е неговият ортоцентър, CL е ъглополовяща и CP височина (L и P са точки от AB), ако CH=2, HP=1 и ML:LP=1:2, да се намери дължината на CM.
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 280#p32365 ( ganka simeonova )

(5т.) Задача 61. Да се докаже, че функцията [tex]f(x) = 4x^4 - 24x^2 + 16x - 3[/tex]има три локални екстремума, стойнстите на които са отрицателни числа.
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 280#p32353 ( BTK Strangler )

(7т.) Задача 62. В триъгълника АВС точката О е ц-р на вписаната окръжност к.

а) През О минава права l, пресичаща страните АС и ВС. Нека са съответно разстоянията от А, В и С до l. Да се докаже, че [tex]ax_{A}+bx_{B}=cx_{C}[/tex] , където a=BC, b=AC, c=AB.
б) да се докаже, че лицето на триъгълника, с върхове допирните точки на к със страните на триъгълника АВС, е равно на \frac{pr^2}{ 2R} (при стандартните означения).
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 280#p32475 ( Mr.G{}{}Fy )
в) Да се намери най-голямата стойност на отношението на лицето на триъгълника с върхове допирните точки на к със страните на триъгълника и лицето на вписания в АВС кръг, ако [tex]\angle ABC=120^\circ[/tex]

(5т.) Задача 63. Да се намерят всички функции [tex]f[/tex]с дефиниционна област[tex](-\infty;+\infty)[/tex], за които:
1)f(1) = 1
2) за всеки 2 числа x и t следва, че [tex]f(x)-f(t) \le (x-t)^2[/tex].
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 300#p32559 ( mkmarinov )

(7т.) Задача 64. В правоъгълен триъгълник АВС с [tex]<C=90^\circ[/tex] височината, ъглополовящата и медианата от върха C пресичат страната AB съответно в точките D,L и M, а T е допирната точка на AB с вписаната в триъгълника окръжност. Да се намерят страните на ABC, ако MT=1 и [tex]MD=\frac{7}{5 }[/tex].

(7т.) Задача 65. В триъгълна пирамида ABCD оротогоналната проекция [tex]D_{1}[/tex] на върха D върху равнината на основата ABCлежи върху описаната около триъгълник ABC окръжност и [tex]DD_{1}=AB=BC=1[/tex]. Околните стени ABD и BCD сключват с основата ъгли с големина[tex]45^\circ[/tex]. Да се намерят дължините на радиусите на вписаната и описаната за пирамидата сфери.

(7т.) Задача 66. Дадена е функцията [tex]f(x)=\frac{x^2+mx+4}{ x^2+x+4}[/tex], където m е реален параметър. Да се намерят всички стойности на m, за които при всеки избор на реалните числа a,b и c числата f(a),f(b) и f(c) са страни на триъгълник.
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 320#p32649

(10т.) Задача 67. Да се пресметне:
б) [tex]2^{log_35}-5^{log_32}[/tex].
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 320#p32687 ( Martin Nikovski )
в) [tex]2^{\sqrt{log_23}}-3^{\sqrt{log_32}}[/tex].
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 320#p32688 ( strangerforever )

(7т.) Задача 68. Дадена е правата призма [tex]ABCA_{1}B_{1}C_{1}[/tex], основата ABC на която е правоъгълен триъгълник с [tex]\angle C=90^\circ[/tex]. Радиусът на описаната около [tex]\Delta ABC[/tex] окръжност е равен на [tex]R[/tex] и [tex]\angle CAB = \alpha[/tex]. През диагонала [tex]CB_{1}[/tex] е посторена равнина[tex]\gamma[/tex], която е перпендикулярна на равнината [tex](CBB_{1})[/tex] и образува с равнината на основата ъгъл, равен на[tex]\beta[/tex]. Да се намери:
а) обемът на призмата
б) разстоянието от точката B до равнината \gamma.

(6т.) Задача 69. Решете уравненията:
a)[tex]\vspace{}3log_x2log_{2x}2=2log_{4x}2[/tex];
viewtopic.php?f=85&t=6081&start=320#p32780 ( Martin Nikovski )
б)[tex]\vspace{}\sqrt{1+log_2x}+\sqrt{4log_4x-2} = 4[/tex];
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 320#p32778 ( Martin Nikovski )
в)[tex]\vspace{}\frac32log_{\frac14}(x+2)^2-3=log_{\frac14}(4-x)^3+log_{\frac14}(x+6)^3[/tex];
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 320#p32797 ( Martin Nikovski )

(6т.) Задача 70. Да се докаже, че[tex]f(x) = 16x^4-16x^3+x+a[/tex]
a) няма реални корени при [tex]a = \frac{17}{16}[/tex];
б) има точно два реални корена при [tex]a = \frac5{16}[/tex];
в) има четири различни реални корена при [tex]a=\frac5{64}[/tex];
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 320#p32808 ( mkmarinov )

(4т.) Задача 71. Дадена е функцията [tex]f(x) = \frac{-\left|x^{2}+2x-3\right|-\left|x^{2}-2x-3\right| }{x^{2}+1}[/tex]. Да се намерят най-малката стойност и най-голямата стойност на функцията.
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 320#p32870 ( tautochrone )

(5т.) Задача 73. Решете уравнението [tex]\(\sqrt{\frac32} + \sqrt{\frac12}\)^x + \(\sqrt{\frac32} - \sqrt{\frac12}\)^x = 2^x[/tex]
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 340#p32957 ( mkmarinov )
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 340#p32995 ( prodanov )

[0xdeadbeef]

(4т.) Задача 1. За кои стойности на прамеръта [tex]m[/tex] уравнението [tex](m-2)x^2 + 2(2m-3)x + 5m - 6 = 0[/tex] има корени с различни знаци и абсолютната стойност на положителния корен е по-голяма от абсолютната стойност на отрицателния корен.

(6т.) Задача 2. Периметърът на [tex]\triangle ABC[/tex] e [tex]2p[/tex]. На страните [tex]AB[/tex] и [tex]AC[/tex] са взети точките [tex]D[/tex] и [tex]E[/tex], така че [tex]DE||BC[/tex] и [tex]DE[/tex] се допира до вписаната в [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност. Да се намери дължината на страната [tex]BC[/tex], при която [tex]DE[/tex] има най-голяма дължина. Да се намери най-голямата дължина на [tex]DE[/tex].

краен срок: 06.05.11г. / 22:00ч.

[zahich]

(6/5;2) и (3/2;2) това ли са отговорите на първата ?

[0xdeadbeef]

(6/5;2) и (3/2;2) това ли са отговорите на първата ?

Не!

[ganka simeonova]

А учители, могат ли да пишат в темата? Защото 2 задача я реших за 5 мин

[0xdeadbeef]

А учители, могат ли да пишат в темата? Защото 2 задача я реших за 5 мин

Да! Целта е темата да бъде полезна. Понеже съм в нарушение на собствените си правила, ще ви отговарям на лични съобщения, моля задавайте ми там въпросите си.

[BTK Strangler]

на 1ва задача [tex]m\in (\frac{3}{ 2};2)[/tex]

[ganka simeonova]

(6/5;2) и (3/2;2) това ли са отговорите на първата ?

Не!

Ок.
И само една забележка. Логическото твърдение на захич е вярно, но просто не е отчел сечението на множествата. А то е:
[tex]m\in (3/2; 2)[/tex]

Zahich, все едно в крайния отговор да напишеш 5.8, а не 40

2 зад) след малко тогава ще я пусна.

[BTK Strangler]

Такааам. Първо трябва да си осигурим два различни корена.
[tex]D = (2m-3)^2 - (5m-6)(2m-3) = -m^2+4m-3 > 0 <=> m \in (1;3)[/tex](1)
С различни знаци - х1*х2<0 <=> [tex](5m-6)(m-2)<0 <=> m\in (\frac{6}{5 };2)[/tex] (2)
Б.О.О х2>х1. По условие |x2| > |x1| <=> x1 + x2 >0 <=> [tex](2m-3)(m-2) < 0 => m \in (\frac{3}{ 2};2)[/tex] (3)
Сега само трябва да засечем (1), (2) и (3), откъдето [tex]m\in (\frac{3}{2 };2)[/tex]

[zahich]

Вярно,нещо съм се отвял Мерси Ганка По-чест пускайте задачи

[ganka simeonova]

От подобието на [tex]\Delta ADE; \Delta ABC =>\frac{ED}{ CB} =\frac{P_{ADE}}{2p }[/tex]
Но [tex]P_{ADE}=2AF=2p-2a[/tex]=>[tex]ED=f(a)=\frac{2a(p-a)}{ 2p} ; a<p[/tex]

НГС на тази квадратна ф-я се достига във върха на параболата, т.е. за [tex]a=\frac{p}{ 2}[/tex] и тя е [tex]\frac{p}{4 }[/tex]

=>НГС[tex]ED= \frac{p}{4 }[/tex]

[0xdeadbeef]

Решението на @BTK Strangler е вярно, на @ganka simeonova също.

За тези който не са успяли да напишат решение, ако имат различно от предните две и ги пост-нат до 06.05.11г. / 22.00ч. също могат да участват.

[0xdeadbeef]

(5т.)Задача 3. Решете уравнението [tex]3^{(2x^2 -7x +3)} = 4^{(x^2 - x - 6)}[/tex].
(5т.)Задача 4. В окръжност с радиус [tex]1[/tex] е вписан трапец [tex]ABCD[/tex] с основа [tex]AB = 2[/tex]. Да се докаже, че лицето на трапеца е равно на [tex]\sin\varphi(1+cos\varphi)[/tex], където [tex]\varphi[/tex] е големината на острия ъгъл между диагоналите [tex]AC[/tex] и [tex]BD[/tex]. Да се намери онази стойност на [tex]\varphi[/tex], за която лицето на трапеца е най-голямо.

краен срок: 06.05.11г/00:00ч.

[kucheto]

3. Преобразуваме до: [tex](3^{2x-1})^{x-3}=(4^{x+2})^{x-3}\Rightarrow x_1=3[/tex]
При [tex]x\ne 3[/tex] съкращаваме степента и получаваме: [tex]3^{2x-1}=4^{x+2}[/tex]
[tex]\frac{9^x}{3}=16.4^x\\\frac{9^x}{4^x}=48\\(\frac{9}{4})^x=48\\x_2=log_{\frac{9}{4}} 48[/tex]

[BTK Strangler]

Задача 3 [tex]3^{(2x^2 -7x +3)} = 4^{(x^2 - x - 6)}[/tex] <=> [tex]{[3^{(2x-1)}]}^{x-3} = {[4^{(x+2)}}]^{x-3}[/tex].
1 случай х=3. Тогава имаме [tex]{[3^{(2x-1)}]}^{0} = {[4^{(x+2)}}]^{0} <=> 1=1[/tex] => Всяко х във случая => х=3 е решение.

2 случай х≠3. Коренуваме, след което имаме [tex]{3^{(2x-1)}} = {4^{(x+2)}}[/tex]. Логаритмуваме при основа 3 и получаваме [tex]2x-1 = (x+2)log_{3} 4[/tex] Оттук намираме и [tex]x=log_{\frac{9}{ 4}} 48[/tex].

[0xdeadbeef]

Отговорите на трета задача са [tex]x_1 = 3[/tex] и [tex]x_2 = \frac{1 + 2\log_3{4}}{2 - log_3{4}}[/tex], като по мойте сметки [tex]x_2[/tex] е числено равно на [tex]log_{\frac{9}{4}}{48}[/tex].


Редакция: Само да добавя, че въпросната задача има още различни от предното решения, аз лично се сещам за две. Така де, могат да се вземат още точки от нея

[BTK Strangler]

Задача 4.

[baroveca]

Но в условието не е споменато,че АВ е диаметър на окръжността?!?!

[kucheto]

Но в условието не е споменато,че АВ е диаметър на окръжността?!?!

Не стига ли това, че основата на трапеца е 2 пъти по-голяма от радиуса на окръжността???

[0xdeadbeef]

(5т.) Задача 5. Дадена е функцията [tex]f(x) = 30x^4 + 18x^2 -16x + 3[/tex], да се докаже че:

• [tex]f'(x)=0[/tex] има единствен реален корен;
• [tex]f(x)>0[/tex] за всяко реално [tex]x[/tex];

(5т.) Задача 6. Нека [tex]ABCD[/tex] е трапец, точките [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex] са средите съответно на голямата основа [tex]AB[/tex] и на малката основа [tex]CD[/tex], а [tex]F[/tex] е пресечната точка на правите [tex]AD[/tex] и [tex]BC[/tex]. Дадени са [tex]AD=12[/tex], [tex]BC=26[/tex] и [tex]\cos{\angle AFB} = -\frac{7}{13}[/tex]. Да се намерят:

• разликата [tex]AB-CD[/tex] и дължините на отсечката [tex]PQ[/tex] и височината на трапеца;
• дъжините на [tex]AB[/tex] и [tex]CD[/tex], ако [tex]FQ = \frac{11}{2}[/tex];

краен срок: 07.05.11г./22.00ч.

[baroveca]

(5т.) Задача 5. Дадена е функцията [tex]f(x) = 30x^4 + 18x^2 -16x + 3[/tex], да се докаже че:

• [tex]f'(x)=0[/tex] има единствен реален корен;
• [tex]f(x)>0[/tex] за всяко реално [tex]x[/tex];

[

Погледни пак дали правилно си записал уравнението,че нещо..май не е както трябва.

[BTK Strangler]

Задача 5.а) [tex]f'(x) = 120x^3 + 36x - 16[/tex]
[tex]f''(x) = 360x^2 + 36 > 0 \forall x[/tex]
=> [tex]f'(x)[/tex] е монотонно растяща за [tex]\forall x[/tex].
=> [tex]f(x)[/tex] е изпъкнала
=> Съществува само един екстремум и той е минимум => f'(x) има единствен реален корен.

б) Нека [tex]x_{0}[/tex] e корена на f'(x). Тогава, тъй като е минимум, ако [tex]x<x_{0}[/tex], то f'(x)<0 и ако [tex]x>x_{0}[/tex] f'(x) >0.
Tрябва да докажем, че [tex]f(x_{0}) = 30x_{0}^{4} + 18x_{0}^{2} - 16x_{0} + 3 > 0[/tex] (1)
Ще използваме, че [tex]f'(x) = 120x_{0}^3 + 36x_{0} - 16 = 0 <=> 30x_{0}^3 + 9x_{0}-4=0[/tex]
Тогава [tex]30x_{0}^{4} = 4x_{0} - 9x_{0}^2[/tex] Заместваме във (1) и получаваме:
[tex]4x_{0} - 9x_{0}^2 + 18x_{0}^{2} - 16x_{0} + 3 >0[/tex]
[tex]3(3x_{0}^2 - 4x_{0} +1) >0[/tex]<=> [tex]3(3x_{0}-1)(x_{0}-1)>0[/tex]
Това дава [tex]x_{0}\in (-\infty ;\frac{1}{ 3} ) \cup (1;\infty )[/tex].
Сега само трябва да докажем, че или [tex]x_{0}<\frac{1}{ 3}[/tex] или, че [tex]x_{0}>1[/tex].
Но [tex]f'(\frac{1}{3 }) =\frac{1}{9 }>0[/tex] => [tex]x_{0}<\frac{1}{ 3}[/tex], с което вече всичко е на 6

ПП Задачата може да се реши и като се обърнат коефициентите на уравнението и се положи 1/х.

[strangerforever]

(5т.) Задача 6. Нека [tex]ABCD[/tex] е трапец, точките [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex] са средите съответно на голямата основа [tex]AB[/tex] и на малката основа [tex]CD[/tex], а [tex]F[/tex] е пресечната точка на правите [tex]AD[/tex] и [tex]BC[/tex]. Дадени са [tex]AD=12[/tex], [tex]BC=26[/tex] и [tex]\cos{\angle AFB} = -\frac{7}{13}[/tex]. Да се намерят:

• разликата [tex]AB-CD[/tex] и дължините на отсечката [tex]PQ[/tex] и височината на трапеца;
• дъжините на [tex]AB[/tex] и [tex]CD[/tex], ако [tex]FQ = \frac{11}{2}[/tex];

Нека [tex]FD = x, FC = y, AB = a, CD = b[/tex].

[tex]\frac{x}{x+12} = \frac{y}{y+26} => y = \frac{13x}{6}[/tex]

[tex]cosT(FDC): b^2 = x^2 + \frac{169x^2}{36} + \frac{7x^2}{3}[/tex]
[tex]b = \frac{17x}{6}[/tex]

[tex]\frac{x}{x+12} = \frac{ \frac{17x}{6} }{a} => a = \frac{17x + 204}{6}[/tex]

[tex]=> a - b = \frac{17x+204}{6} - \frac{17x}{6} = 34[/tex]

Нека DH и CT са височини.

[tex]AH + BT = 34 => AH = t, BT = 34 - t[/tex]

Питагор x2:

[tex]t^2 + h^2 = 144[/tex]
[tex](34-t)^2 + h^2 = 676[/tex]

Изваждаме ги:
[tex]1156 - 68t + t^2 - t^2 = 532[/tex]
[tex]68t = 624[/tex]
[tex]t = \frac{156}{17} => h = \frac{24\sqrt{30}}{17}[/tex]


Построяваме [tex]CE || AD (E \in AB)[/tex]
[tex]CE = AD = 12[/tex]
Построяваме CN - медиана в BEC

[tex]BN = \frac{a-b}{2}, PB = \frac{a}{2}[/tex]
[tex]PN = PB - BN = \frac{b}{2}[/tex]
=> PN = QC => CNPQ - трапец с равни основи => успоредник => CN = PQ
[tex]2CN = \sqrt{288 + 1352 - 1156}[/tex]
[tex]2CN = \sqrt{484}[/tex]
[tex]CN = 11 = PQ[/tex]


[tex]FQ = \frac{11}{2}[/tex]
[tex]11 = \sqrt{2x^2 + 2y^2 - b^2}[/tex]
[tex]11 = \sqrt{2x^2 + \frac{169x^2}{18} - \frac{289x^2}{36}}[/tex]
[tex]11 = \sqrt{\frac{121x^2}{36}}[/tex]
[tex]11 = \frac{11x}{6}[/tex]
[tex]x = 6[/tex]

[tex]=> a = \frac{17x + 204}{6} = 51[/tex]
[tex]b = \frac{17x}{6} = 17[/tex]


П.С.: Чертежът е на tautochrone.

[0xdeadbeef]

(4т.)Задача 7. Докажете, че неравенството: [tex]\sqrt[4]{x} \le 2x + \frac{3}{8}[/tex] е вярно за [tex]x \ge 0[/tex].

(6т.)Задача 8. Нека
[tex]h(x)=\left\{ {\frac{f(x)}{g(x)}, \small(0<|x|<2\pi)\text{~~~~~~}\atop\ \frac{1}{4} , x = 0 \text{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}} \right.[/tex]
където [tex]f(x) = 2 - 2 \cos{x} - x\sin{x}[/tex] и [tex]g(x) = x^2 - \sin^2{x}[/tex].
Докажете, че [tex]h(x) > 0[/tex] за [tex]x \in (-2\pi, 2\pi)[/tex]

краен срок: 07.05.11г./00:00ч.

[strangerforever]

[tex]\sqrt[4]{x} \le 2x + \frac{3}{8}[/tex]

[tex]t = \sqrt[4]{x} \ge 0[/tex]

[tex]t \ge 2t^4 + \frac{3}{8}[/tex]
[tex]2t^4 - t + \frac{3}{8} gle 0[/tex]
[tex]16t^4 - 8t + 3 \ge 0[/tex]
С хорнер установяваме, че [tex]\frac{1}{2}[/tex] е корен, разлагаме:
[tex](t-\frac{1}{2})(16t^3 + 8t^2 + 4t - 6) \ge 0[/tex]
Установяваме, че е двоен:
[tex](t-\frac{1}{2})^2(16t^2 + 16t + 12) \ge 0[/tex]
При [tex]t = \frac{1}{2}[/tex] неравенството е изпълено, делим:
[tex]16t^2 + 16t + 12 \ge 0[/tex]
[tex]4t^2 + 4t + 3 \ge 0[/tex]
[tex]D_1 = -8 < 0[/tex]


Изпълнено за всяко [tex]t \in DM[/tex] => за [tex]x \ge 0[/tex]