Показателна функция (сп. Математика - УАСГ)

[MathBet]

Ето я и задачата:
[tex]f(x) = 4^{x} + 2(2a + 1)2^{x} + 4a^{2} - 3[/tex]

За кои стойности на реалния параметър a f(x) > 0 за всяко x.

Аз полагам и изследвам, но нещо губя логиката .

[strangerforever]

[tex]a \in (-\infty;-1) \cup [\frac{\sqrt{3}}{2};\infty)[/tex] ?

[0xdeadbeef]

Означаваме [tex]\varphi(t) = t^2 +2t(2a+1) + 4a^2 - 3[/tex], където [tex]t = 2^x(>0)[/tex].
Сега условието на задачате е еквивалентно с това: [tex]\varphi(t) > 0[/tex] за [tex]t>0[/tex].

[tex]D(a) = 16(a + 1)[/tex] - дискриминанта.
първи случай: [tex]D(a) < 0 \Leftrightarrow a \in (- \infty , -1)[/tex], тогава [tex]\varphi(t) > 0[/tex] за всяко [tex]t[/tex], в частност [tex]t>0[/tex], следователно [tex]a \in (- \infty, -1)[/tex] е решение.
втори случай: [tex]D(a) > 0 \Leftrightarrow a \in (-1, \infty)[/tex], [tex]\varphi(t) > 0[/tex] за [tex]t>0[/tex] ще е изпълнено когато корените [tex]t_1[/tex] и [tex]t_2[/tex] на уравнението [tex]\varphi(t) = 0[/tex] изпълняват условията: [tex]t_1, t_2 \in (-\infty, 0];t_1<t_2 \Leftrightarrow 4a^2 -3 \ge 0 \cap -2(2a + 1) < 0 \Leftrightarrow a \in [\frac{sqrt{3}}{2}, + \infty)[/tex].
трети случай: [tex]D(a) = 0 \Leftrightarrow a=-1[/tex], тогава [tex]\varphi(t) = 0[/tex] за [tex]t_0 = 1(>0)[/tex], следователно за [tex]a=-1[/tex] условието не е изпълнено.

Всички стойности на [tex]a[/tex] получваме като обединим решенията в първи и втори случай.

Btw темата от която е и задачата я има тук.