Тригонометрично уравнение с параметър

[excessiveee]

Да се намерят стойностите на параметъра а, за които:
а) уравнението sinx+acosx=2a има решение
Б)уравнението 1+sin^2ax=cosx има единствено решение
в) уравненията 4cos^2x=a^2-6 и 1-cos2x=a/6 са еквивалентни
г) уравнението sin3x-2acos2x=a има поне три решения в интервала [0;∏], образуващи аритметична прогресия
д) уравнението sin^3x+cos^3x+asin2x=(a^3+a)/2 има решение.

[dimy93]

Б)
Лявата страна е >=1 а дясната <=1 =>[tex]sinax=0,cosx=1[/tex]=> [tex]x = \frac{\pi}{ 2} +2k\pi[/tex],[tex]ax=m\pi[/tex]
Ако a = 0 всяко x от вида [tex]\frac{\pi}{ 2} +2k\pi[/tex] е решение => [tex]a\ne 0[/tex] => [tex]\frac{\pi}{ 2} +2k\pi=\frac{m\pi}{a }|:\frac{\pi}{ 2a}<=>a+4ak=2m<=>a=\frac{2m}{4k+1 }[/tex]
Отговор:
Всяко [tex]a=\frac{2m}{4k+1 }\ne 0[/tex]
B)1сл-имат решение
[tex]1-cos2x=\frac{a}{ 6} <=>2-2cos^x=\frac{a}{ 6} <=>cos^2x = 1-\frac{a}{ 12}[/tex] ,[tex]a\in [0;12][/tex]
[tex]4cos^2x=a^2-6[/tex] ,[tex]a\in [\sqrt{6};\sqrt{10} ][/tex]
[tex]4(1-\frac{a}{ 12})=a^2-6[/tex] <=>[tex]3a^2+a-30=0[/tex]
[tex]a_1=3\in[/tex][tex]a_2=-\frac{10}{3 }\notin[/tex]
=>a=3 е решение
2сл нямат решение =>[tex]\begin{tabular}{|l}a\in (-\infty;0)\cup (12;+\infty )\\a\in (-\infty;\sqrt{6} )\cup (\sqrt{10} ;+\infty )\end{tabular}[/tex]
=>Краен отг:[tex]a\in (-\infty;0)\cup \{3\}\cup(12;+\infty )[/tex]
A)
a=0 е реш
полагаме [tex]y=tan\frac{x}{2 }\in (-\infty ;+\infty )[/tex]и получаваш [tex]3ay^2-2y+a=0[/tex]
Сега просто трябва да видиш за кои стойности [tex]D=1-3a^2\ge 0[/tex]
Отговор :[tex]a\in [-\frac{1}{\sqrt{3} };\frac{1}{\sqrt{3} } ][/tex]
Д)
Полагаме [tex]sinx+cosx= y \in [-\sqrt{2};\sqrt{2} ] => six*cox = \frac{1-y^2}{ 2}[/tex]
Получаваме:
[tex]y^3 -2ay^2+y+a-a^3=0[/tex]

[0xdeadbeef]

г) [tex]\sin{3x} -2a\cos{2x} - a = (3\sin{x} - 4\sin^3{x}) -2a(1-2sin^2{x}) - a = 4\sin^3{x} -4\sin^2{x} - 3\sin{x} + 3a = 0[/tex].

Полагаме [tex]\sin{x} = y[/tex] [tex](y \in [0,1])[/tex].

[tex]4y^3 -4y -3y +3a = (y-a)(2y - \sqrt{3})(2y+\sqrt{3}) = 0[/tex]

Решенията на последното уравнение са: [tex]y=a;t=\frac{1}{2}\sqrt{3}; -\frac{1}{2}\sqrt{3}[/tex].

Връщаме се към полгането

[tex]\sin{x}=-\frac{1}{2}\sqrt{3} \Rightarrow x \notin [0,\frac{\pi}{2}];[/tex] [tex]\sin{x} = \frac{1}{2}\sqrt{3} \Rightarrow x=\frac{\pi}{3} \in[0,\pi][/tex] и [tex]x= \frac{2\pi}{3} \in [0,\pi];[/tex] [tex]\sin{x} = a \Rightarrow x = \varphi[/tex], където [tex]\varphi[/tex] е ъгълът при който [tex]\sin{(x=\varphi)} = a[/tex].

В зависимост от стойностите на [tex]\varphi[/tex] съществуват няколко аритметични прогресии: Изброяваме ги ,изпозлваме, че [tex]2a_{n-1} = a_n + a_{n+1}[/tex],отделяме тези [tex]\varphi \in [0,\pi][/tex] и така намираме всички стойности на [tex]a[/tex]

ПП. Последната стъпка ще я разпиша по-късно ако ми остане време

[mkmarinov]

Б)
Лявата страна е >=1 а дясната <=1 =>[tex]sinax=0,cosx=1[/tex]=> [tex]x = \frac{\pi}{ 2} +2k\pi[/tex],[tex]ax=m\pi[/tex]

Я пак... кога косинусът е единица?

[baroveca]

Б)
Лявата страна е >=1 а дясната <=1 =>[tex]sinax=0,cosx=1[/tex]=> [tex]x = \frac{\pi}{ 2} +2k\pi[/tex],[tex]ax=m\pi[/tex]

Я пак... кога косинусът е единица?

x=2kpi

[dimy93]

мдам.. ще я поправя
Б)
Лявата страна е >=1 а дясната <=1 =>[tex]sinax=0,cosx=1[/tex]=> [tex]x = 2k\pi[/tex],[tex]ax=m\pi[/tex]
Ако a = 0 всяко x от вида [tex]2k\pi[/tex] е решение => [tex]a\ne 0[/tex] => [tex]2k\pi=\frac{m\pi}{a }|:\frac{\pi}{ a}<=>2ak=m<=>a=\frac{m}{2k}[/tex]
За всяко a и m можем да изберем единствена стойност на k => За всяко a имаме безброй много решения