Модулно уравнение с 3 корена - зад.10 от СУ

[v1rusman]

зад. Намерете стойносите на реалния параметър [tex]a[/tex], за които уравнението

[tex]|x^2-2|x||=a(4x+1)[/tex]

има точно 3 корена.

Ще ми е интересно да видя НЕграфично решение.

[int]

Считаме, че се търсят стойностите, когато даденото уравнение има три различни реални корена. При [tex]a=0[/tex] горното е изпълнено. При [tex]a\ne 0[/tex] уравнението има смисъл за [tex]a(4x+1)\ge 0.[/tex] Тогава то е еквивалентно на уравнението
[tex][x^2-2|x|-a(4x+1)][x^2-2|x|+a(4x+1)]=0.[/tex]
При [tex]x\ge 0[/tex], което дава [tex]a> 0[/tex] (заради дефиниционното условие), горното уравнение е еквивалентно на

[tex][x^2-2x(1+2a)-a)][x^2-2x(1-2a)+a]=0.[/tex]

Това уравнение може да има 3 реални корена само ако и двата квадратни тричлена имат реални корени (иначе ще има най много два реални или нито един реален). Затова намираме стойностите на параметъра при които и двете дискриминанти са неотрицателни. Освен това искаме тези корени да са неотрицателни.
Полагаме [tex]f(x)=x^2-2x(1+2a)-a,[/tex][tex]g(x)=x^2-2x(1-2a)+a.[/tex]
Дискриминантата на [tex]f[/tex] e [tex]D_f=4a^2+5a+1[/tex] и е положителна за всички стойности на [tex]a> 0[/tex]
Дискриминантата на [tex]g[/tex] е [tex]D_g=4a^2-5a+1[/tex], и е неотицателна за [tex]a\in(0,\frac{1}{4}]\cup [1,\infty)[/tex]. Тъй като [tex]a> 0[/tex] виждаме, че нямаме нулеви корени и още, че [tex]f[/tex] има два реални корена с различни знаци, докато [tex]g[/tex] има два реални корена с еднакви знаци. Тъй като [tex]x\ge 0[/tex] остава да поискаме двата корена на [tex]g[/tex] да са положителни, за което е достатъчно да имаме [tex]2(1-2a)> 0,[/tex] което дава [tex]0< a < \frac{1}{2}.[/tex] Има евентуална възможност положителният корен на f да съвпадне с някой от корените на g, затова трябва да намерим стойностите на а, при които това би могло да се случи и да ги изключим, (защото тогава уравнението ще има 2 корена). Тъй като [tex]f(x)=g(x)[/tex] за [tex]x=-\frac{1}{4}[/tex] и [tex]f(-\frac{1}{4})\ne 0, g(-\frac{1}{4})\ne 0[/tex] виждаме, корените са различни при всички стойности на параметъра.

При [tex]x\le 0[/tex] имаме две възможности: [tex]x\le -\frac{1}{4}[/tex] и [tex]-\frac{1}{4}\le x \le 0[/tex]. В първия случай [tex]a<0[/tex], във втория [tex]a>0[/tex]. И в двата случая изходното уравнение е еквивалентно на
[tex][x^2+2x(1-2a)-a)][x^2+2x(1+2a)+a]=0.[/tex] Сега дискриминантите на двата квадратни тричлена са положителни при всички стойности на параметъра. Остава само да се поиска корените да са в интервала (-∞, -1/4] при a<0 и от интервала [-1/4, 0] при a>0, което не може да се удовлетвори за никоя стойност на параметъра , тъй като винаги единия от двата квадратни тричлена ще има положителен корен, а единия от отрицателните ще е извън съответния интервал (В това се убедете сами, полезно упражнение е.) Окончателно търсените стойности на параметъра са [tex]a\in[0,\frac{1}{4})[/tex]

Извинявам се, че втората част я поднасям малко претупано, но това е защото ме мързи да описвам подробно, (доста време отива), все пак графичното решение в този случай май е по-разумния вариант.

[int]

Много се извинявам. Отстъпвам от предложеното решение. Считайте го за невалидно. В него е допусната една много дълбока логическа грешка. Изобщо казано, като преобразуваме модулното уравнение в еквивалентно на него, за някои стойности на х, изискването модулното уравнение да има 3 различни реални корена изобщо не е еквивалентно с това съответното преобразувано уравнение да има 3 различни реални корена в интервала на еквивалентност. Определено чалъма на тази задачка си е в графичното решение, така да се каже. На сляпо е твърде трудно да се напипат всичките случаи. Не че е невъзможно, но така задачката става доста трудно обозрима, а описанието на решението става ненужно усложнено, както за формулиране така и за проследяване. Това е великия извод до който стигнах след толкова загубено време по тази задачка. Поуката е, че има голяма полза от това човек да мисли и геометрично.

[prodanov]

Интересно ми е как би я решил графично?

[int]

Ами на интуитивно ниво бих предложил следното. Първо да начертаем графиката на лявата страна на уравнението, после да съобразим, че графиката на дясната страна е права, която минава през точката (-1/4, 0), с променлив ъглов коефициент. Като изменяме параметъра, всъщност въртим тази права около гореспоменатата точка и така виждаме, че стойностите на параметъра, при които имаме 3 пресечни точки на двете линии са 0 и онази стойност на а, при която правата, която въртим стане допирателна към графиката на функцията [tex]|x^2-2|x||.[/tex] Това се случва, когато а=1/4. Един начин да се обоснове всичко това е, като се докаже че при 0<а<1/4 уравнението, което е еквивалентно на модулното за x≥0 , а именно [tex][x^2-2x(1+2a)-a)][x^2-2x(1-2a)+a]=0[/tex] има три различни положителни реални корена, а онова, което е еквивалентно на модулното при х≤0, а именно
[tex][x^2+2x(1-2a)-a)][x^2+2x(1+2a)+a]=0[/tex], че има един отрицателен реален корен, за същите стойности на параметъра. От това вече следва, че модулното уравнение ще има 4 различни реални корена за 0<a<1/4. Другото което остава да се покаже е, че при a<0 или a>1/4, уравнението [tex][x^2-2x(1+2a)-a)][x^2-2x(1-2a)+a]=0[/tex] или няма положителни корени, докато за същите тези стойности, уравнението [tex][x^2+2x(1-2a)-a)][x^2+2x(1+2a)+a]=0[/tex] има най много два отрицателни корена, или първото уравнение има един положителен, а второто един отрицателен корен. Всички тия неща, между другото, са почти очевидни. Непосредствена проверка показва, че а=0 удовлетворява изискването модулното уравнение да има 3 различни реални корена, а стойността а=1/4, която също удовлетворява това изискване, всъщност съответства на това квадратния тричлен [tex]x^2-2x(1-2a)+a[/tex] да има двукратен корен.
В общи линии това е схема, която ползва идеята на предния пост, с което виждаме, че все пак не е съвсем за изхвърляне. Разбира се може да има и друг по-хубав начин да се обоснове доказателството строго, но като цяло, след като вече имаме картинката пред себе си, доста по-лесно се натъманяват детайлите.