Конкурсна тема

[0xdeadbeef]

1. Решете уравнението [tex]\frac{3}{\log_{x}{4}} + \log_{4}{x}=\log_2{x}[/tex]
2. Решете уравнението [tex]\cos{7x} + \cos{x} + 2\cos{3x}\sin{2x}=0[/tex]
3. Решете неравенството [tex]9^x -4.15^x \ge -3.25^x[/tex]
4. За растяща аритметична прогресия [tex]x_1[/tex] [tex]y_1[/tex] [tex]x_2[/tex] [tex]y_2[/tex], [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex] са корени на уравнението [tex]x^2 +2ax + b =0[/tex], [tex]y_1[/tex] и [tex]y_2[/tex] на [tex]y^2 + 3ay + 2b + 2 =0[/tex]. Намерете стойностите на [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex].
5. Да се намерят стойностите на праметъра [tex]a[/tex], за които [tex]x>0[/tex] е решение на [tex]x^2 - (2a+1)x +a^2 - \frac{1}{4} > 0[/tex]
6. В триъгълник ABC, AL, BN са ъглополовящи (L е от страната BC, N е от страната AC), а P е пресечната им точка. Ако AB е най-голямата страна и около четириъгълника CNPL може да се опише окръжност, определете вида на триъгълника според ъглите му.
7. Даден е трапец [tex]ABCD[/tex] с основи [tex]AB=8[/tex] и [tex]CD=2\sqrt{10}[/tex]. Намерете дължината на отсечката [tex]MN (M \in AD, N \in BC)[/tex], aко тя е успоредна на основите на трапеца и дели лицето му в отношение [tex]2:1[/tex]
8. Даден е правоъгълен трапец [tex]ABCD(\angle BAD=90^\circ)[/tex] с основи [tex]AB=a,CD=b(a>b)[/tex] и височина [tex]AD=h[/tex]. В трапеца е вписан правоъгълник [tex]AMNP[/tex] така, че [tex]M\in AB,N\in BC,P\in AD[/tex]. Ако [tex]PN=x[/tex], да се намери за кои стойности на [tex]x[/tex] лицето на правоъгълника [tex]AMNP[/tex] е най-голямо и да се пресметне тази най-голяма стойност.
9. Дадена е правилна четириъгълна призма [tex]ABCDA_1B_1C_1D_1[/tex], ако [tex]AB=1,DB_1=3[/tex] намерете разстоянието между правите [tex]BC[/tex] и [tex]DB_1[/tex].
10. Дадена е функцията [tex]f(x) = \frac{ax + 2}{x+1} + \sqrt{3x^2 + 1}[/tex]
a) Решете уравнението [tex]f(x) = x^2 -7[/tex], при [tex]a=2[/tex].
б) Да се намери най-голямата стойност на [tex]g(a)=\sqrt{f'(1) + f(0) -a^2 -3}[/tex]

[baroveca]

За задача 5 не трябва ли всяко x<0, защото ако е зададена така както в твоето условие, според мен отговорът е,че няма такава стойност на параметъра а..

[Mr.G{}{}Fy]

За задача 5 не трябва ли всяко x<0, защото ако е зададена така както в твоето условие, според мен отговорът е,че няма такава стойност на параметъра а..

Нека [tex]a=-1[/tex]
[tex]f(x)=x^2+x+3/4 >0[/tex] За всяко [tex]x[/tex]

[baroveca]

За задача 5 не трябва ли всяко x<0, защото ако е зададена така както в твоето условие, според мен отговорът е,че няма такава стойност на параметъра а..

Нека [tex]a=-1[/tex]
[tex]f(x)=x^2+x+3/4 >0[/tex] За всяко [tex]x[/tex]

в крайна сметка как да считам условието? x<0 или x>0

[baroveca]

За трета задача получавам [tex]x\in (-\infty ;-\frac{1}{2 } ][/tex]?

[Mr.G{}{}Fy]

Както е дадено условието > така приемай условието

[baroveca]

А за първа задача получавам,че няма решение..или аз бъркам нещо..стигам до х=0 и х=1..но от ДС х>0 и това,че логаритъма има в основата си х, то трябва да е различно от 1..или съм объркал нещо?

[inveidar]

За трета задача получавам [tex]x\in (-\infty ;-\frac{1}{2 } ][/tex]?

Не е ли [tex]x\in (-\infty ;log_{\frac{3}{ 5}} 3]\cup [0;+\infty ][/tex]?

[baroveca]

За трета задача получавам [tex]x\in (-\infty ;-\frac{1}{2 } ][/tex]?

Не е ли [tex]x\in (-\infty ;log_{\frac{3}{ 5}} 3]\cup [0;+\infty ][/tex]?

Исках да напиша за задача 5

[Mr.G{}{}Fy]

А за първа задача получавам,че няма решение..или аз бъркам нещо..стигам до х=0 и х=1..но от ДС х>0 и това,че логаритъма има в основата си х, то трябва да е различно от 1..или съм объркал нещо?

Аз получавам само x=1,което не е допустима стойност

[inveidar]

А за първа задача получавам,че няма решение..или аз бъркам нещо..стигам до х=0 и х=1..но от ДС х>0 и това,че логаритъма има в основата си х, то трябва да е различно от 1..или съм объркал нещо?

Как пък получи хикс равно на нула? Иначе си прав. Получава се [tex]x=1[/tex], което не е решение, защото основата на логаритъма не може да е 1.

[Mr.G{}{}Fy]

За задача 5 я пак провери ? Сигурен ли си,че е само това?

[baroveca]

[tex]\cos{7x} + \cos{x} + 2\cos{3x}\sin{2x}=0[/tex]
[tex]2cos(\frac{x+7x}{ 2} )cos(\frac{7x-x}{ 2})+2cos3xsin2x=0[/tex]
[tex]2cos4xcos3x+2cos3xsin2x=0[/tex]

[tex]2cos3x(cos4x+sin2x)=0[/tex]
[tex]1) cos3x=0=>3x=\frac{\pi }{ 2}+k\pi =>x_1=\frac{\pi }{6 }+\frac{k\pi }{ 3}[/tex]

[tex]2)cos4x+sin2x=0[/tex]
[tex]sin(90-4x)+sin2x=0[/tex]

[tex]2sin(\frac{90-4x+2x}{ 2} )cos(\frac{90-4x-2x}{ 2})=0[/tex]

[tex]1.1)sin(45-x)=0=>\frac{\pi }{4 } -x=k\pi =>x_2=\frac{\pi }{4 }+k\pi[/tex]

[tex]1.2)cos(45-3x)=0=>\frac{\pi }{4 }-3x=\frac{\pi }{2 } +k\pi =>x_3=-\frac{\pi }{12 } +\frac{k\pi }{3 }[/tex]
Объркал ли съм някъде?

[baroveca]

[
Как пък получи хикс равно на нула?

грешка.. видях си я..

[baroveca]

За задача 5 я пак провери ? Сигурен ли си,че е само това?

Ами не е ли достатъчно условието [tex]x_1\le x_2<0[/tex]

[inveidar]

За задача 5 я пак провери ? Сигурен ли си,че е само това?

Вярно му е!
Но ме съмнява решението му да е вярно!!!

[baroveca]

За задача 4 получавам,че b=3, a=+-2?

[baroveca]

За задача 5 я пак провери ? Сигурен ли си,че е само това?

Но ме съмнява решението му да е вярно!!!

и защо, ако мога да попитам?? не е ли достатъчно условието, което написах?

[Mr.G{}{}Fy]

За задача 5 я пак провери ? Сигурен ли си,че е само това?

Ами не е ли достатъчно условието [tex]x_1\le x_2<0[/tex]

Това,което си написал + D<0 и за =0 да се провери какво се получава,ако не се лъжа,а относно задачата не съм я смятал просто мислех,че трябва още решения да има,но явно са това ... Не съм имал предвид,че е грешно решението ти

[Mr.G{}{}Fy]

За задача 5 я пак провери ? Сигурен ли си,че е само това?

Вярно му е!
Но ме съмнява решението му да е вярно!!!

Да не бъдем груби На всеки се случва да сгреши и да напише нещо абсурдно (или почти на всеки) ... човешко е,а и както ми беше казала една учителка на скоро човек не спира да се учи

[baroveca]

Това,което си написал + D<0 и за =0 да се провери какво се получава,ако не се лъжа,а относно задачата не съм я смятал просто мислех,че трябва още решения да има,но явно са това ... Не съм имал предвид,че е грешно решението ти

Според мен условието D<0 е излишно, защото щеше да ни върши работа, ако в условието беше споменато " всяко х>0"Тогава D<0 щеше да ни върши работа, защото тогава неравенството е изпълнено за всяко х, следователно и за всяко х>0

[Mr.G{}{}Fy]

Аз разбирам условието така : Да се намери такова а,че като го заместим в f(x) изразът да е положителен за всяко x>0
Ако аз греша,извинявам се тогава.

[Добромир Глухаров]

Аз разбирам условието така : Да се намери такова а,че като го заместим в f(x) изразът да е положителен за всяко x>0

Точно така. Казано е "[tex]x>0[/tex] е решение", а не "решението е [tex]x>0[/tex]".

[0xdeadbeef]

За задача 4 получавам,че b=3, a=+-2?

Трябва да е растяща аритметична прогресия!

[Mr.G{}{}Fy]

[tex]\cos{7x} + \cos{x} + 2\cos{3x}\sin{2x}=0[/tex]
[tex]2cos(\frac{x+7x}{ 2} )cos(\frac{7x-x}{ 2})+2cos3xsin2x=0[/tex]
[tex]2cos4xcos3x+2cos3xsin2x=0[/tex]

[tex]2cos3x(cos4x+sin2x)=0[/tex]
[tex]1) cos3x=0=>3x=\frac{\pi }{ 2}+k\pi =>x_1=\frac{\pi }{6 }+\frac{k\pi }{ 3}[/tex]

[tex]2)cos4x+sin2x=0[/tex]
[tex]sin(90-4x)+sin2x=0[/tex]

[tex]2sin(\frac{90-4x+2x}{ 2} )cos(\frac{90-4x-2x}{ 2})=0[/tex]

[tex]1.1)sin(45-x)=0=>\frac{\pi }{4 } -x=k\pi =>x_2=\frac{\pi }{4 }+k\pi[/tex]

[tex]1.2)cos(45-3x)=0=>\frac{\pi }{4 }-3x=\frac{\pi }{2 } +k\pi =>x_3=-\frac{\pi }{12 } +\frac{k\pi }{3 }[/tex]
Объркал ли съм някъде?

Това мисля,че е вярно и аз получих същите отговори.Само,че при теб x3 "покрива" x2,ако не се лъжа и не съм 100% сигурен дали накрая трябва да се напише обобщен отговор .Мисля,че трябва,но не съм напълно сигурен